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一、知识点梳理
1.导数：当?x趋近于零时，
f(x0??x)?f(x0)趋近于常数c。可用符号“?”记作：当
?x?x?0时，
f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?c，符号“?”?c或记作lim?x?0?x?x读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作f(x)在x?x0处的导数，并记作f?(x0)。 即 f(x0)?lim'?x?0f(x0??x)?f(x0)
?x2.导数的四则运算法则：
1）(f(x)?g(x))??f?(x)?g?(x) 2）[f(x)g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)g?(x)
??f(x)?g(x)f?(x)?f(x)g?(x)?3）??g2(x)?g(x)?几种常见函数的导数：
??nxn?1(n?Q) (3)(sinx)??cosx （xn）(1)C??0(C为常数) (2)
(4)(cosx)???sinx (5)(lnx)??11 (6)(logax)??logae xxxxxx(7)(e)??e (8)(a)??alna
例题：对下面几个函数求导 （1）、y?3x?8x?12 （2）f(x)?5e?xlnx?a
xx2ex?3lnx(3)f(x)?
2x23.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点P(x0,y0)为曲线上一点，则过点P(x0,y0)的切线的斜率
k切?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)
?x可编辑
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由于函数y?f(x)在x?x0处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得：
（1）求出函数y?f(x)在点x?x0处的导数，即曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：
y?y0?f'(x0)(x?x0)
例题：1、已知曲线y?13x?m的一条切线方程是y?4x?4，则m的值为 3428428213A. B. ? C.或? D.或? 333333的一条切线与直线
B．
垂直，则的方程为
C．
2、若曲线 A．D．
4.函数的单调性：
'在某个区间(a,b)内，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果
f'(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减。
例题：求f(x)?3x?4x?4的单调区间
325.函数的极值
求函数f(x)极值的步骤: ①求导数f?(x)。
/②求方程f(x)?0的根.
③列表； ④下结论。
1、已知函数f(x)?ax?(2a?1)x?2，若x??1是y?f(x)的一个极值点，则a值为
32 （ ）
A．2 B.-2 C.
322 D.4 72、设函数f(x)= 2x?3(a?1)x?1,其中a?1.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
可编辑
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'解：由已知得f(x)?6x?x?(a?1)?，令f(x)?0，解得 x1?0,x2?a?1。
''2（Ⅰ）当a?1时，f(x)?6x，f(x)在(??,??)上单调递增；
' 当a?1时，f'(x)?6x??x??a?1???，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x f'(x) f(x) (??,0) + 0 0 极大值 (0,a?1) a?1 0 极小值 (a?1,??) ? ] ? Z Z 从上表可知，函数f(x)在(??,0)上单调递增；在(0,a?1)上单调递减；在(a?1,??)上单调递增。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a?1时，函数f(x)没有极值；
当a?1时，函数f(x)在x?0处取得极大值，在x?a?1处取得极小值1?(a?1)。
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6.函数的最大值和最小值
（1）设y?f(x)是定义在区间?a,b?上的函数，y?f(x)在(a,b)内有导数，求函数
y?f(x)在?a,b?上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求y?f(x)在(a,b)内的极值.
②将y?f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若函数f(x)在?a,b?上单调增加，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在?a,b?上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
32f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是 2 。 例题：
解：当－1￡x<0时，f?(x)>0，当0 7.定积分性质 （1）?bakf(x)dx?k?f(x)dx； abbb（2）?ba[f1(x)?f2(x)]dx??af1(x)dx??af2(x)dx 可编辑 . bb（3）?caf(x)dx??cf(x)dx??af(x)dx(a?c?b) 8、常见求定积分的公式 1n?1bn（1）?bxdx?x|a(n??1) an?1b（3）?b asinxdx??cosx|a b（2）?bcdx?cx|aa（C为常数） b（4）?bacosxdx?sinx|a 1xxbdx?lnx|b（5）?b （6）?baa aedx?e|a xaxbbx|a(a?0且a?1) （7）?aadx?lna?1dx14练习（1）?x2dx （2）? （3）?xdx ?2x0?2?x3?130312? 解：（1）?xdx?????0?3?0333111?1dx??lnx??2?ln1?ln2??ln2 ?2x4041014（3）?xdx??(?x)dx??xdx??x2?x2?2?8?10 ?2?202?220（2）??1 9、应用定积分求曲边梯形的面积 （1）如图，由三条直线x?a,x?b?a?b?，x轴（即直线y?g(x)?0）及一条曲线y?f(x)(f(x)?0) 围成的曲边梯形的面积S??f(x)dx??(f(x)?g(x))dx aabb （2） 如图，由三条直线x?a,x?b?a?b?，x轴（即直线y?g(x)?0）及一条曲线y?f(x)((f(x)?0))围成的曲边梯形的面积： ； (3)如图，由曲线y1?f1(x)，y2?f2(x)f1(x)?f2(x)?0及直线 x?a,x?b?a?b?，围成图形的面积公式为： . 注：利用定积分求平面图形面积的步骤： （1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； （2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； 可编辑
