前 言
对光与物质之间相互作用的理解和控制，一直是人们梦寐追逐的目标,也是科技领域中至关重要的课题。一个多世纪以来，人们已经揭开黑体辐射、原子线谱的神秘面纱，从而催生了量子力学这门学科。从此以后，一系列研究成果、新颖现象和效应层出不穷地涌现出来，影响着许多学科的发展，包括激光的诞生，光学材料的研究，光子材料的研究光子晶体，基于芯片的集成光子学，但都存在衍射极限限制，无法和半导体工艺比拟。直到表面等离子体激元（surface plasmon，SP）的发现，突破了衍射极限[8]。
光子与金属之间的相互作用，会引发出许多迷人的现象。导体中表面等离子体激元（surface plasmon polaritons，SPPs）的激发，使人们得以利用金属等导体材料来控制光的传播。SPPs是光波与可迁移的表面电荷（例如金属中自由电子）之间相互作用产生的电磁模。这个电磁模有着大于同一频率下光子在真空中或周边介质中的波数。因此，通常情况下，这个电磁模不能被激发，从导体表面辐射出去。电磁场在垂直表面的两个方向上，均以指数式衰减。在一平坦金属/介电界面，SPPs沿着表面传播，由于金属中欧姆热效应,它们将逐渐耗尽能量，只能传播到有限的距离,大约是微米或纳米数量级。SPPs的研究已有长达100多年的历史了，由于受早期制作电子元件的工艺水平的限制，加工不了微米、纳米尺寸的元件和回路，所以SPPs显露不出它的特性，不为人们所关注。随着工艺技术的长足进步，现今制作特征尺寸为微米和纳米级的电子元件和回路，已不成问题了。只有当结构尺寸可以与SPPs传播距离相比拟时，SPPs特性和效应才会显露出来。
随着计算机技术的发展，理论仿真工具凭借其强大计算能力、可操作行以及可重复性，正在被越来越多的学者利用。在实验的仿真模拟方面，仿真工具更加突出了其节省人力物力的特点，其模拟结果也可以为将来的实验结果提供参考。本文第三章所运用的是COMSOL Multiphysics仿真软件，其专业的计算模型库，丰富的CAD建模系统，以及多物理场的耦合，为我们的工作提供了大量的帮助。
本文的主要工作是运用Drude模型解释了表面等离激元是如何产生的，并阐述了表面等离激元由于金属结构的不同而产生的两种分类；阐述3种理论模型，Mie模型、Drude模型以及Lorentz Drude模型，并对他们各自的优缺点、适用条件进行了简单的说明；用COMSOL Multiphysics对单个金属纳米颗粒的散射特性进行仿真模拟。
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1 表面等离激元（surface plasmons，SPs）
表面等离激元是金属纳米结构中自由电子的共振，能产生一些新颖的光学性质，比如对光的选择性吸收和散射[9-10]、局域电场增强[11]等。当改变金属表面结构时，表面等离子体激元的性质、色散关系、激发模式、耦合效应等都将产生重大的变化。
1.1 用Drude模型解释表面等离激元的产生
在外电场的作用下，金属中自由电子的运动可以表示成：
d2xdxm2?m???eE0exp(?i?t)， dtdt（1）
其中，x表示电子的位置，m为电子的质量，?为阻尼常数，e为电子电荷量，E0表示外电场的振幅，?为外电场的圆周率。电子的共振运动可以表示成：x(?,t)?x0(?)exp(?i?t)， 将其带入（1）式中，可以得到电子的振幅x0(?)?eE0。所以，电子在外电场作用2m(??i??)?Ne2E0下的诱导偶极矩可以表示为P?N?(?ex0)?，其中N为单位体积内的电子个2m(??i??)数。同时，诱导偶极矩是介电常数的函数，即P??0(?(?)?1)E0。上述两式是相等的，可得
2?p， ?(?)??r?i?i?1??(??i?)（2）
其中?p?Ne2/?0m为电子的等离激元频率。（2）式即为金属自由电子的共谐振荡模型。
2?p它描述了金属介电常数与入射光频率的关系。可以假设????，可以得到?(?)?1?2。
?由此式可以看出，当???p时，介电常数为负，折射率为复数，金属与入射电磁波存在着较强的相互作用；而当???p时，介电常数为正，折射率为实数，金属对入射光来说就只
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是一种常规的介电材料。
1.2 表面等离激元的分类
如果金属纳米颗粒中自由电子振荡收到结构尺寸的限制，则称为局域的表面等离激元（localized surface plasmon，LSP）；如果在金属纳米薄膜与介质的界面上激发的表面等离激元可以沿着薄膜向远处传播，则称为传导的表面等离激元（propagating surface plasmon polariton，SPP）。
1.2.1 局域的表面等离激元
设半径为a(a???)的纳米金属球颗粒处在E?E0rcos?的均匀静电场中，粒子内部和外部电场分别为Ein和Eout，电势分别为?in(r,?)和?out(r,?)，则有
Ein????in,Eout????out,??in?0(r?a),??out?0(r?a).22 （3）
图1 处于静电场中的金属球形颗粒示意图
该模型满足的边界条件为界面处电势相等：?in??out,???in????mout(r?a)，其中?和?r?r?m分别为球形颗粒和周围介质的介电常数。
假设在无穷远处的电场不受扰动，可以看出，满足以上偏微分方程以及边界条件的解为
?3?mE0rcos?，
??2?m?in?（4）
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?out??E0rcos??a3E0???mcos?。
??2?mr2（5）
由此可以看出，粒子外部的势能?out可以认为是入射电场势能（（5）式等号右边第一项）和另一个偶极子势能（（5）式等号右边第二项）之和，该偶极子的势能为??pcos?，偶
4??mr2极矩为p?4??ma3???mE0。可以得到这个偶极子的极化率为
??2?m??4?a3???m，
??2?m（6）
也就是说，当粒子的尺寸远小于入射光波长的时候，可以按偶极子近似处理，其极化率为粒子的介电常数和半径的函数。进一步的推导可以得到该纳米粒子的消光界面和散射界面
Cext?kIm{?}?4ka3Im{???m}，
??2?m（7）
Cscs???m2k48?|?|2?k4?a6||， 6?3??2?m（8）
其中k为入射光波失。而吸收截面即为
Cabs?Cext?Cscs。
（9）
可以看出，消光截面与半径的3次方成正比，而散射截面与半径的6次方成正比，由此可见，对尺寸较大的粒子，光散射占主要部分，对于尺寸较小的粒子，光吸收占的比例较大；随着粒子尺寸的变小，粒子对光的吸收、散射强度都在减弱，而且散射强度比吸收强度减弱的更快。
1.2.2 传导的表面等离激元
对于金属薄膜和介质界面的表面等离激元，可以通过求解麦克斯韦方程组，并利用电场在界面处的连续性，就可以得到当入射光的偏振方向平行于入射面时，沿着金属表面传播的表面等离激元波矢的表达式
kspp???(?)?m，
c?(?)??m （10）
其中?为光的圆频率，c为光速，?(?)和?m分别为金属和介质的介电常数.将金属介电常数的Drude模型（（2）式）代入，可得表面等离激元波矢kspp和入射光频率?的色散
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