正弦定理、余弦定理和解斜三角形
一、填空题（3?10=30分） 1．在ΔABC中，已知a?3,b?1,B?π，则c?___________ 62．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为4:3，则它的顶角的正切值是__________
3．在ΔABC中，若sinAsinB?sinAcosB?cosAsinB?cosAsinB?cosAcosB?2，那么三角形的形状为_______________
4．在ΔABC中，?cotA?1??cotB?1??2，则log2sinC?_______________ 5．在ΔABC中，A?,b?1,S?3，则
π3a?b?c? sinA?sinB?sinC6．在锐角ΔABC中，若tanA?t?1,tanB?t?1，则t的取值范围是__________ 7．在ΔABC中，若
sin2B?sin2C?sin2A?1，则A?________________
sinBsinC8．在ΔABC中，已知a?2,A?__________________
π，若此三角形有两解，则b的取值范围是49．(A)在ΔABC中，A?C?2B,b2?ac，则三角形的形状为________________
i?n?Bco，C则在 (B) 已知A?B??C?，且sAcBo?t、Cco?Bt、stiCannB及+cosBs?icosnC中C必为常数的有_________
10．(A)在ΔABC中，c?1,a?2，则C的取值范围是__________________ (B)已知三角形的三边长分别是2a?3,a2?3a?3,a2?2a?a?0?，则三角形的最大角等于______________ 二、 选择题 （3?4=12分）
11在ΔABC中，sinA?sinB?cosA?cosB是C?π 的（ ） 2A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
12．在ΔABC中，若sinA:sinB:sinC?3:4:5则此三角形是 （ ）
A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 13．在ΔABC中，若aco2s?cco2s?C2A23b，那么其三边关系式为 2（ ）
A.a?b?2c B. a?c?2b C.b?c?2a D. 2a?2c?3b 14．(A)在ΔABC中，a,b,c为三角形三条边，且方程x2?2cx?a2?b2?0有两个相等
的实数根，则该三角形是（ ）
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A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 (B)已知关于x的方程x2?x?cosAcosB?1?cosC?0的两根之和等于两根之
积的一半，则ΔABC是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 三、解答题 （10+10+12+12+14=58分） 15．在ΔABC中，若sinBsinC?cos2
16．在ΔABC中，若?a?b?c??a?b?c??ac，求B。
17．在ΔABC中，若4sin2的值。
18．(A)已知A码头在B码头的南偏西75?处，两码头相距200千米，甲、乙两
船同时分别由A码头和B码头出发，乙船朝着西北方向航行，乙船的航行速度为40海里/小时，如果两船出发后5小时相遇，求甲船的速度。（1海里=1.852千米）（精确到0.1海里） (B)甲船在A点发现乙船在北偏东60?的B点处，测的乙船以每小时a海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小时3a海里，问：甲船如何行驶才能最快与乙船相遇？
B?C7（1）求A；（2）若a?3,b?c?3，求b,c?cos2A?。
22A，试判断三角形的形状 2第2页
19、(A)在ΔABC中，若sinA?sinB?sinC，（1）判断三角形的形状；（2）如果三
cosB?cosC角形面积为4，求三角形周长的最小值。
??? (B)三条线段长分别为sin?,sin?和sin?????，其中?、???0，?，是否
?2?能以此三条线段构成三角形？并说明理由。
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正弦定理、余弦定理和解斜三角形答案
一、填空题 1. 2或1 2.
48 55123. 等腰直角三角形 4.? 5.
239 36. (2，??) 7.
? 38. 2,22
9. （A）等边三角形，(B)tanB?tanC
?10. （A）??0,?, (B)120
??????6?二、选择题
11. C 12. B 13. B 14.（A） A (B) A 三、解答题
15. 由sinBsinC?cos2As?C?，化简得，得2sinBsinC?1?coAs?1?co?B2cos?B?C??1，????B?C??，?B?C，即?ABC是等腰三角形。
16. ??a?b?c??a?b?c??ac，?b2?a2?c2?ac，
a2?c2?b2a2?c2?a2?c2?ac1?cosB????，?B?120?
2ac2ac2??17. （1）由题设得2?1?cos?B?C???2cos2A?1?77，即2?1?cosA??2cos2A?1?，22b2?c2?a2111??解得coA，故A?60；（2）?cosA?,?，即s?2bc222将a??b?c?2?a2?3bc，
3,b?c?3代入，得bc?2，解得b?2,c?1或b?1,c?2。
18. (A)如右图，设两船在C处相遇，由题意，
?ABC?60?,AB?200,BC?200?1.852?370.4（单位：千米）。
所
AC2?2??????以
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即AC?321.1170503千米，所以甲船的速度为小时。 （B）设两船的相遇处为点C，如图：，可知，在?ABC321.1170503?34.7海里/
5?1.852中，B?120?，AB为定值，AC,BC分别是甲船与乙船在相同时间里的行程。由已知条件显然有
AC:BC?3a:a?3:1，由正弦定理可得
sinA?BC1sinB?，再由0?A?60?，得A?30?，即甲船航行的方向为北偏AC2东30?。
?a2?c2?b2a2?b2?c219. (A)（1）由正弦定理、余弦定理得a???2ac2ab????b?c， ???2bc?b?c??a2?b?c??b2?c2?c?b?，?b?c?0，两边同除以b?c，得 ?2bc?a2??b?c??c?b?，化简得b2?c2?a2，?A?90?，?ABC为直角三角形。
??（2）?A?90?，?S??bc?4,?bc?8。所以周长
C?a?b?c?b2?c2?b?c?2bc?2bc?42?1;，当且仅当b?c时等号成
12??立。
因此三角形周长的最小值为42?1，此时b?c?22.
?????(B)由于?、???0，?，
?2?sin??sin??sin??????sin??sin??sin?cos??cos?sin??sin??1?cos???sin??1?cos???0，
即sin??sin??sin?????。
sin??sin??????sin??sin??sin??????sin?????cos??cos?????sin??sin??????1?cos???sin??1?cos???????0 即sin??sin??????sin?。同理可证sin??sin??????sin?。
所以可构成三角形。
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