概率在证明不等式中的应用
不等式的证明方法很多，不仅可以用高等数学的方法证明，而且也可以用初等数学的方法证明，技巧十分灵活多变，当然也有不少问题需要几种方法综合使用才能解决。作为研究随机现象数学领域中的一个重要分支，概率论与数学各个分支之间有着十分广泛的联系，通过对不等式的探讨他们之间的联系具有十分重要的意义。概率论与不等式融会贯通、互为所用，如何利用根据不同的数学问题建立相应的随机概率模型是概率论方法证明不等式的关键，然后运用概率、函数之间的相关性质给出问题的结果。
下面对不等式证明中的各种概率论方法进行进一步研究:
1.运用概率论的性质证明不等式
1.1 运用随机变量的数字特征证明其不等式
定理 设X是一只取有限个值的离散型随机变量，其分布列为 P{X=xk}=pi, k=1,2,?,n, 则 E2(X) ￡ E（X2）, 当且仅当x1=x2=?=xn=E(X)时，等式成立. 证 由E（X2）-E2(X) = D(X) = ∑轾xi-E(X)臌下面简举几例应用在数学方面,如下：
题1 求证 ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2>6abc ，
其中a,b,c?R+，且a,b,c全不相等
证 ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2>6abc
b+cc+aa+b++>6 abc 假设随机变量X的分布列为
2≥0即得证.
()()()()()()?
轾sa轾sb轾sc P犏X==,P犏X==,P犏X==
犏s犏s犏s臌a臌b臌c其中s=a+b+c,
则有，
E(X)=轾sE(X2)=犏犏a臌sasbsc++=3. asbscs2a轾s+犏s犏b臌2b轾s+犏s犏c臌2cs
=sssb+cc+aa+b+3 ++=++abcabc 最后由引理E2(X) ￡ E（X2）
即可得ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2>6abc. abc3题2 求证 ++
b+cc+aa+b2 其中a,b,c,为正数. 证 设随机变量X的分布列为
P犏X=()()()轾犏臌a+bsb+c轾sc+a轾s=, =,P犏X==,P犏X=犏犏2sb+c2sc+a2sa+b臌臌 其中s=a+b+c，由引理E2(X) ￡ E（X2） E(X)=
2sb+csc+asa+b3++=
b+c2sc+a2sa+b2s22骣s E（X）= 琪琪b+c桫骣s琪琪b+c桫进而
2b+c骣s+琪琪2s桫c+a22c+a骣s+琪琪2s桫a+b22a+b 2sb+c骣s+琪琪2s桫c+ac+a骣s+琪琪2s桫a+ba+b93 42sabc3++ 得证。 b+cc+aa+b2题3 求证 a4+b4+c4?a2b2b2c2+c2a2?abc(ab+c) （*）
其中a,b,c为正数.
证 若设随机变量X的分布列为
()轾ca2b2轾ab2c2轾bc2a2X==,P犏X==,P犏X==. P犏犏犏犏hhh臌b臌c臌a （其中 h=a2b2+b2c2+c2a2,）
由引理E2(X) ￡ E（X2）
即可得 a2b2+b2c2+c2a2?abc(ab+c) 不等式
设随机变量X的分布列为
444骣a2轾b2轾c2cab P琪X=2=,P犏X=2=,P犏X=2=. 琪犏犏sss桫c臌a臌b ( 其中 s=a4+b4+c4,) 由引理E2(X) ￡ E（X2）
即可得 a4+b4+c4?a2b2b2c2+c2a2 不等式； 从而a4+b4+c4?a2b2b2c2+c2a2?abc(ab+c)得证。
同样的证明我们可以得到上不等式的推广： 推广 设a1,a2,n4in()(),an是不全相等的正数，n32,则
22ii+1a吵aa 邋i=1i=1 aai=1n2ii+1i+2a. （其中an+k=ak,k=1,2）
从以上诸题可见：
由E（X2）≥E2(X)，所得的结论让我们认识到仔细分析题目，依据所证的不等式的特点，证明的关键是要求我们要灵活而巧妙地构造出一个合适的随机变量的分布列。根据概率论中的一些定理可以帮助我们证明一些复杂的不等式，这些定理还可以是方差、协方差等定理的应用，并于此同时我们也取到举一反三的效果。
1.2 利用事件的关系运算 题 证：2
1?ij 5?5aiaj+4
1?ij ?5i=1ai+3 1?ij 其中ak?[0,1]，k=1,2,3,4,5, 证 该不等式很难证明，我们把它转化为概率模型，设相互独立的随机事件 Ak（k=1,2,3,4,5,），由于ak?[0,1]，k=1,2,3,4,5,可以看作事件Ak（k=1,2,3,4,5,）的发生概率，即： P(Ak)=ak k=1,2,3,4,5, 由于任一事件的概率 P(Ak)￡1， 骣5则有 P(Ai)P琪Aj￡P(Ak)=ak ，k=1,2,3,4,5, （*） 琪j=1,j i桫事件之间并的关系的运算公式： 骣P琪P(Ai)-琪Ai=邋i桫ii 将P(Ak)=ak （ k=1,2,3,4,5,） 代入上（*）不等式 ai（ j=1,j i?5aj- 1?jk９5;j,k?5iajak+ 1?jk 以上几式相加，并将式子合并、移向整理即得证原不等式 2 1?ij 5?5aiaj+4 1?ij ?5i=1ai+3 1?ij 从以上可见： 所给的题目用常规方法无从下手，很难解决，但将题目中的ak看成相应相互独立随机事件Ak，利用事件间的关系与事件的运算，再结合概率知识证明不等式，使问题简单明了化。 2.构造随机概率模型证明不等式 根据问题的条件及所给的数量关系构造概率模型，使原有的信息条件转化 成另一种新的数量关系，使问题在新的数量关系下实现转化，并利用所构建新的概率模型的数字特征解决所证的不等式。然而，解决该类问题的关键在于构造怎样相应的概率模型，使问题朝向概率问题上发展。在下面的讨论中我们将提供三种如何构造随机概率模型来证明不等式的方法。 2.1 构造泊松分布概率模型 题 证?+ k=0k3+13k!+ 2e。 k3+13k!e-1k3+132e转化为?k!k=0+ 分析 将原不等式?2。 k=0我们构建泊松分布的概率模型： lke-l其概率密度为 P(x=k)= （k=0,1,2,k!）
