证明：（1）QM是AD的中点，
?AM?DM，
QAE//BC， ??AEM??DCM，
又Q?AME??DMC， ??AEM??DCM，
?AE?CD，
又QAD是?ABC的中线， ?AD?CD?BD，
又QAE//BD，
?四边形AEBD是平行四边形；
（2）QAE//BC， ??AEF∽?BCF，
?AFAE1??，即BF?2AF， BFBC2?AB?3AF，
又QAC?3AF， ?AB?AC，
又QAD是?ABC的中线， ?AD?BC，
又Q四边形AEBD是平行四边形，
?四边形AEBD是矩形．
2.（2019?普陀区二模）如图，YABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接YABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC?BD；②C?ABO?C?CBO；③?DAO??CBO；④?DAO??BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是( )
A．1个 【整体分析】
根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【满分解答】
解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①QAC?BD，?新的四边形成为矩形，符合条件； ②Q四边形ABCD是平行四边形，?AO?OC，BO?DO． QC?ABO?C?CBO，?AB?BC．
B．2个 C．3个 D．4个
根据等腰三角形的性质可知BO?AC，?BD?AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③Q四边形ABCD是平行四边形，??CBO??ADO． Q?DAO??CBO，??ADO??DAO．
?AO?OD．
?AC?BD，?四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④Q?DAO??BAO，BO?DO，
?AO?BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
?新四边形是矩形．符合条件．
所以①②④符合条件． 故选：C．
3.（2018?上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅
锤方向的边长称为该图形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是矩形的宽的
23，那么矩形的宽的值是 ．
【整体分析】
先根据要求画图，设矩形的宽AF?x，则CF?23x，根据勾股定理列方程可得结论． 【满分解答】
解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC， 设AF?x，则CF?23x， 在Rt?CBF中，CB?1，BF?x?1， 由勾股定理得：BC2?BF2?CF2， 12?(x?1)2?(2x)23，
解得：x?1813或0（舍)， 即它的宽的值是1813， 故答案为：
1813．
4.（2018?上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(A．?A??B B．?A??C
C．AC?BD
D．AB?BC
【整体分析】
) 由矩形的判定方法即可得出答案． 【满分解答】
解：A、?A??B，?A??B?180?，所以?A??B?90?，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、?A??C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC?BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB?BC，所以?B?90?，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
5.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H。
求证：（1）四边形FBGH是平行四边形； （2）四边形ABCH是平行四边形。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AD?DB、BE?EC、AF?FG?GC
二.证明四边形FBGH是平行四边形：用边之比证明DF//BG和 GH// BF 可得。
三.证明四边形ABCH是平行四边形：联结BH，交FG于点O ；证明OB=OH 和OA=OC 可得。 【满分解答】
证明：（1）∵点F、G是边AC的三等分点，∴F、G分别是AG、CF的中点， ∵点D是AB的中点，∴DF//BG，即FH//BG． 同理： GH// BF．
∴四边形FBGH是平行四边形．
（2）联结BH，交FG于点O，
∵四边形FBGH是平行四边形，∴OB=OH，OF=OG．
