山东经济学院学士学位论文
实数连续性等价命题的证明与应用
摘要
实数连续性理论是高等数学中的主要内容,实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.
本文主要研究实数连续性等价命题的证明问题,对于实数连续性的7个等价性命题:确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则,采用循环论证的方法,先证明确界定理成立，再从确界定理出发,依次证明下一命题,直至致密性定理证明柯西收敛准则,最后由柯西收敛准则证明确界定理,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.
在实数连续性等价命题的证明过程的同时,本文还给出了实数连续性的应用.
关键词: 实数的连续性;等价证明;应用
The proof and application for equivalent propositions of the real continuity
ABSTRACT
The paper discusses demonstration and application of the equal propositions on real number continuity. Equivalence of these seven theorems can be demonstrated by a circular. From the case 1 on, this paper demonstrate the next one in turn down, at the last, the proposition that extends from 7 to 1 to form a road that their equivalence.
Keywords：The continuity of real number; equivalence demonstration; application
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目录
一、实数连续性 .................................................................................................................................................. 1 二、确界定理 ...................................................................................................................................................... 1 三、单调有界定理 .............................................................................................................................................. 3 四、区间套定理 .................................................................................................................................................. 4 五、有限覆盖定理 .............................................................................................................................................. 6 六、聚点定理 ...................................................................................................................................................... 7 七、致密性定理 .................................................................................................................................................. 8 八、柯西收敛定理 .............................................................................................................................................. 8 参考文献 ............................................................................................................................................................ 11
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一、实数的连续性
实数连续性反映了实数集R的一种特性，也称作实数的完备性. 实数连续性理论在高等数学中占有重要地位，广泛应用于极限理论方面,连续函数理论方面乃至整个数学分析,因此,实数连续性等价命题的内容,证明方法及应用是大学生应该掌握的重要学习内容. 实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.
实数连续性的基本定理有七个,这七个定理在实数理论的研究乃至整个数学分析的学习中都至关重要，它们是:确界定理,数列的单调有界定理,区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛定理.
在下面的几节中，采用循环论证的方法,先证明确界定理成立,再从确界定理出发,利用确界定理证明数列的单调有界定理成立,再利用单调有界定理证明区间套定理成立,接下来利用区间套定理证明有限覆盖定理成立,再接下来利用有限覆盖定理证明聚点定理成立,然后利用聚点定理证明致密性定理成立,再然后利用致密性定理证明柯西收敛准则成立,最后由柯西收敛准则证明确界定理成立,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.
二、确界定理
定义2.1.1 设E是非空数集.若??R满足
1??x?E有x??;
2????0,?x0?E有x0????,则称?是数集E的上确界，记作
??supE.
定义2.1.2 设E是非空数集.若??R满足
1??x?E有x??;
2????0,?x0?E有x0????,则称?是数集E的上（下）确界，记作
??infE.
定理2.1(确界定理) 若非空数集S有上界（下界）,则数集S一定存在唯一的上确界（下确界）;若非空数集S有下界,则数集S一定存在唯一的下确界.
证明 只证明关于上确界的结论，下确界的结论可以类似地证明. 不妨设S含有非负数.由于S有上界,故可找到非负整数n,使得
1?对于任何x?S有x?n?1;
2?存在a0?S,使a0?n.
?，9中的一个数n1,使得 对半开区间?n,n?1?作10等分,分点为n.1,n.2,?,n.9,则存在0,1,2，1?对于任何x?S有x?n.n1?1; 102?对于a1?S,使a1?n.n1.
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在随半开区间?n.n1,n.n1n2???1?,9中的一个n2,使得 ?作10等分,则存在0,1,2，10?1; 1021?对于任何x?S有x?n.n1n2?2?对于a2?S,使a1?n.n1n2.
继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间,可知对任何k?1,2,?,存在0,1,2,?,9中的一个数nk,使得
1?对于任何x?S有x?n.n1n2?nk?1; ??? k102?对于ak?S,使a1?n.n1n2?nk.
将上述步骤无限地进行下去,得到实数??n.n1n2?nk?.以下证明??supS.为此只需证明: ?i?对一切x?S有x??;
?ii?对任何???,存在a??S使??a?.
倘若结论?i?不成立,即存在x?S使x??,则可找到x的k位近似不足xk,使
xk??k?n.n1n2?nk?从而得
1, k10x?n.n1n2?nk?1, k10但这与不等式???相矛盾.于是?i?得证.
现设???,则存在k使?的k位近似不足?k??k,即
n.n1n2?nk??k.
根据数?的构造,存在a??S使a???k从而有
a???k??k??,
即得到??a?.这说明?ii?成立.
说明（1）:数集E的上（下）界可能属于E,也可能不属于E,例如E??1，，,?,?11?231?,??,则n?supE?1?E,而infE?0?E.
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