弘瑞教育培训学校 陈老师 初二年级秋季班（加强班）
专题一：勾股定理 金牌数学专题系列
第一部分：知识点部分（略）
第二部分：误区部分
误区一：习惯上的错误
例1在△ABC中，∠B=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a=3，b=4，求c的长． 错误：由勾股定理得，c=a2?b2=32?42=25=5，∴c=5． 分析：错在习惯上用勾股定理a2+b2=c2，它使用的前提是∠C=90°，而本题∠B=90°，b是斜边，勾股定理的计算式应为c=b2?a2． 正解：∵∠B=90°，∴b是斜边，由勾股定理得，c=b2?a2=42?32=7，∴c=7．
误区二：习惯使用勾股数 例2已知三角形的两边长分别为3和4，求第三边的长． 错误：由勾股定理得，第三边的长为32?42=25=5． 分析：错在习惯上用勾股数：3、4、5，它使用的前提是3、4是两条直角边，事实上，本题并未明确告诉你谁是斜边，∴4也能为斜边． 正解：若3、4是两条直角边，则第三边的长为32?42=25=5；若4是斜边，则第三边的长为4?3=7；故第三边的长为5或或7．
误区三：习惯使用锐角三角形 例3在△ABC中，AB=5，AC=10，BC边上的高AD=4，求BC的长． B C （图1） 22A D 错误：如图⑴，由勾股定理得，BD=52?42=3，CD=102?42=221，∴BC=3+221． 分析：错在习惯上用锐角三角形ABC，当△ABC是钝角三角形时也成立． 正解：当△ABC是锐角三角形时，解法同上；当△ABC是钝角三角形时，如图⑵由勾股定理得，BD=52?42=3，CD=102?42=221，∴BC=CD-BD=63?8．所以，BC的长为221?3或221?3．
A C
⑵
B
D
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第三部分：常见类型分析
类型一（梯子问题）
例1、（06甘肃）如图，一架长5m的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3m。如果梯子的顶
端沿墙下滑1m，梯子的底端的水平方向沿一条直线也将滑动1m吗？用所学知识，论证你的结论。
ADCBE 例2、一架长25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。如果梯子的顶端沿墙下滑4
分米，那么梯足将滑动 。 解题关键：梯子的长度是不改变的，只是位置发生了变化；
类型二（折叠问题） 例3、如图长方形ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求DE和EF的长。
AEDBFCC 解题难点：通过折叠构造的角、边等量关系挖掘不彻底，尤其是∠DEF与∠BEF的等量关系很难发现；将EF放在直角三角形中，如何构造直角三角形； 例4、（07哈尔滨）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=25/4 cm，则AD的长（ ） A、4cm B、5cm C、6cm D、7cm ABDFEC变式练习1、如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G为DC上一点，且DG=1/4 DC，那么BE与EG垂直吗？为什么？
AEDGBC
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变式练习2、（07山东）如图，四边形ABCD为矩形纸片。把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点
E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（ ）
ADEBFC
类型三（双垂基本型） 例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求AC和AB的长.
C
ADB 例6、已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，∠A=30°，AB=8，根据题设可以求得哪儿些量？ CADB 变式练习3、已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，且BC=a，AC=b，AB=c，CD=h，
求证：C111?? a2b2h2ADB
类型四（利用两直角三角形公共部分建立等量关系）
例7、在△ABC中，∠C=90°，M在BC上，若AB=17，AM=10，BM=9，求AC、MC的长
ABMC
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例8、已知：如图，在△ABC中，AD是高，E在BD上，且DE=DC，且AB＞AC求证：AB?AC?BC?BE
22ABEDC
22变式练习4、已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，O是BC中点。求证：AB?AC?2BC?OD
ABODC
类型五（具有特殊30、45度角的直角三角形） 例9、在△ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30，求BC的长.
变式练习5、如图，已知：∠ABD=∠C=90°,AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长. CDAB
类型六（分类讨论思想）
例11、已知Rt△ABC的两边长分别为4、8，则这个三角形的面积是_________； 变式练习6、已知：在△ABC中，∠B=30°，AC=52，BA=10，求BC的长. 变式练习7、已知：在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC的面积.
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