习题五
1． 求下列各曲线所围图形的面积： （1） 与x2+y2=8(两部分都要计算)； 解：如图D1=D2
解方程组得交点A(2，2)
(1)
∴ , ． （2） 与直线y=x及x=2； 解： .
? x （3） y=ex，y=e与直线x=1； 解：．
(3)
（4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)； 解：．
（5） 抛物线y=x2和y=?x2
(4)
?2；
解：解方程组得交点 (1，1)，(?1，1) ．
(5)
（6） y=sinx，y=cosx及直线；
(2)
解： ．
(6)
（7） 抛物线y=?x2+4x?3及其在(0，?3)和(3，0)处的切线； 解：y′=?2x+4． ∴y′(0)=4，y′(3)=?2． ∵抛物线在点(0，?3)处切线方程是y=4x?3 在(3，0)处的切线是y=?2x+6 两切线交点是(，3)．故所求面积为
(7)
D??320320??4x?3????x2?4x?3??dx??3???2x?6????x2?4x?3??dx????2233??xdx??3?x2?6x?9?dx2（8） 摆线x=a(t?sint)，y=a(1?cost)的一拱 (0?t?2?)与x轴；
解：当t=0时，x=0, 当t=2?时，x=2?a． 所以
9?.4
S??2πa0ydx??a?1?cost?da?t?sint?02π2π?a2?0?1?cost?2dt
(8)
（9） 极坐标曲线 ρ=asin3φ；
解： ．
(9)
（10） ρ=2acosφ； 解：
?3πa2.
．
(10)
2． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r=a(1+cosθ)及r=2acosθ; 解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的
2
圆，故D=πa．
(11)
（2） 及．
解：如图12，解方程组
得cosθ=0或, 即或． (12) ．
3． 已知曲线f(x)=x?x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a．
解：如图13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1?a，a(1?a)) ∴
依题意得 得a=?2．
(13) 4． 求下列旋转体的体积： （1） 由y=x2与y2=x3围成的平面
图形绕x轴旋转；
解： 求两曲线交点得(0，0)，(1，1)
． （14） （2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；
解：见图14，
． （2） 星形线绕x轴旋转；
解：见图15，该曲线的参数方程是： ，
由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为
(15)
5． 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。
解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，于是得到ED所在的直线
方程为：
(16)
对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为： ，同理可得该椭圆的另一半轴为： ．
故该椭圆面积为
从而立体的体积为 .
6． 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.
(17)
解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．
过区间[?R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于
从而该立体的体积为
．
7． 求下列曲线段的弧长： （1） ，0≤x≤2；
解：见图18，2yy′=2． ∴．从而
(18)
（2） y=lnx，； 解：
． （3） ； 解：
=4.
8． 设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求
