★初中几何证明专题★
几何证明——角平分线模型(中级)
【知识要点】
１、角平分线：
（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）； （2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一
条射线是一个角的角平分线）。
2、角平分线常见用法（或辅助线作法）：
①垂两边：如图1，已知BP平分?ABC，过点P作PA?AB，PC?BC，则PA?PC。
②截两边：如图2，已知BP平分?MBN，点ABM上，在BN上截取BC?BA，则?ABP≌?CBP。 ③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图3，已知BP平分?ABC，PA//AC，则AB?AP； 如图4，已知BP平分?ABC，EF//PB，则BE?BF。 BPCMAAAPBCNAPBCBEP
CF (1) (2) (3) (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图5，已知AD平分?BAC，且AD?BC，则AB?AC，BD?CD。
BDCA （5）
3、角平分线比例定理
如图6，AD为?ABC的角平分线，则
AABBDABAC??或。 ACCDBDCD
BDC （6）
◆角平分线模型◆
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【经典例题】
?例1、已知如图，?ABC中，BC?AC，AD平分?CAB，若?C?90，求证：AB?AC?CD；
例2、如图，在Rt?ABC中，?ACB?90，CD?AB于D，AF平分?CAB交CD于E，交CB于F，
且EG//AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？
?CFEADGB
?例3、已知如图，?ABC中，BC?AC，AD平分?CAB，若?C?108，求证：AB?AC?BD；
例4、如图：已知I是?ABC的内心，DI//AB交BC于点D，EI//AC交BC于E。求证：?DIE的周长等于BC。
AIBDEC
◆角平分线模型◆
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例5、如图：已知在?ABC中，?ABC的平分线与?ACB的外角平分线交于点D，DE∥BC，交AB于点E，交AC 于点F，求证：EF?BE?FC。
AEFD
BCM
例6、如图，已知?ABC中?BAC?90?,AB?AC,CD垂直于?ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE?2CD。
ADEBC
◆角平分线模型◆
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【提升训练】
,OB,OC分别平分?ABC和?ACB，OD?BC于D，且OD?3，求1、如图，已知?ABC的周长是21?ABC的面积．
AOBDC
2．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= ．
3．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于 ．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积．
5．已知如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A的平分线交CD于F，BC于E，过点E作EH⊥AB于H．求证：EC=CF=EH．
◆角平分线模型◆
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