出质量与运动的周期，再利用??【详解】
M，从而即可求解． V?1?根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度h?解得：g?12gt 22h 2 tv2则由mg?m
R求得：星球的第一宇宙速度v?gR?2hR， 2t2h?mg?m?2?由GMm22
Rt2hR2有：M?
Gt2所以星球的密度??【点睛】
本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．
M3h? 2V2GtR?
6．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课．若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度g，求： （1）地球的第一宇宙速度v； （2）飞船离地面的高度h． 【答案】（1）v?【解析】 【详解】
gR （2）h?3gR2T2?R 24?v2（1）根据mg?m得地球的第一宇宙速度为：
Rv?gR．
（2）根据万有引力提供向心力有：
Mm4?2G?m?R?h?2， 2(R?h)T2又GM?gR，
解得：h?3gR2T2?R ． 24?
7．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r的匀速圆周运动。卫星的质量为m，地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，不计地球自转的影响。求：
（1）卫星进入轨道后的加速度大小gr； （2）卫星的动能Ek。
mgR2gR2【答案】（1）2（2）
2rr【解析】 【详解】
Mm??(1)设地球的质量为M，对在地球表面质量为m?的物体，有：G?mg 2R对卫星，有：GMm?mgr 2rgR2解得：gr?2
rMmv2(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：G2?m
rr 卫星的动能为：Ek?12mv 2mgR2解得：Ek?
2r
8．设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x，已知弹簧的劲度系数为k，火星的半径为R，万有引力常量为G，忽略火星自转的影响。
（1）求火星表面的重力加速度和火星的质量；
（2）如果在火星上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。
kxkxRmRkxR2【答案】（1）g=，M=； （2）v=， 2π mmkxGm【解析】 【详解】
（1）物体静止时由平衡条件有: mg=kx，所以火星表明的重力加速度g=
kx；在火星表面mmMkxR2重力由万有引力产生：mg=G2，解得火星的质量M=。
RGmkxRv2（2）重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：mg=m，解得卫星的线速度v=；mR近地卫星的周期T=
2?RmR=2π。 vkx
9．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F与在地球表面时重力mg的比值后k?F称为载荷值．已知地球的mg半径为R＝6.4×106m（地球表面的重力加速度为g＝9.8m/s2）
(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k＝6，求该过程的加速度；（结论用g表示）
(2)求地球的笫一宇宙速度；
(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞 行一圈需要的时间．（π2≈g）
【答案】(1) a＝5g (2)v?7.92?103m/s (3)T=5420s 【解析】 【分析】
(1)由k值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；
(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值． 【详解】
(1)由k＝6可知，F＝6mg，由牛顿第二定律可得：F-mg＝ma 即：6mg-mg＝ma 解得：a＝5g
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，
v2由万有引力提供向心力得：mg?m
R所以：v?gR?9.8?6.4?106m/s?7.92?103m/s
(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：GMm2?2?m() r2T在地面上万有引力等于重力：GMm?mg R24?2r34?(6.7?106)3解得：T??s?5420s 262gR(6.4?10)【点睛】
本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．
10．在某一星球上，宇航员在距离地面h高度处以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面时与抛出点的水平距离为x，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求： (1)该星球表面的重力加速度g； (2)该星球的质量M ； (3)该星球的第一宇宙速度v。
2hv022hv02R2v0M?【答案】(1) g? (2) (3) v?2hR 22xGxx【解析】（1）由平抛运动规律得：水平方向x?v0t 竖直方向h?12g?t 22hv02解得： g?? 2x（2）星球表面上质量为m的物体受到万有引力近似等于它的重力，即
GMm?mg? 2Rg?R2得： M?
G2hv02R2代入数据解得： M? 2Gxv2（3）mg??m；解得v?g?R R代入数据得： v?v02hR x点睛：平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度g．运用重力等于万有引力，得到g=GM/R2，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量的原理．
