典型例题一
3332973例1 计算：（1）C100； （2）C3． ?C4???C10?C100?A101??分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合
973数的性质，第（1）题中，C100，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有?C10034434两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形Cn求和；另一方面，变形C3，?Cn?C4?1?Cn，434434接着C4，C5?，反复使用公式． ?C4?C5?C5?C6解：（1）原式?C?2100?C33100??A3101?C3101?A31013A1013 ?3?A101A3 ?1?A3?1． 63444444（2）原式?C3 ?C5?C4?C6?C5???C11?C104 ?C11?330．
4333另一方法是：原式?C4 ?C4?C5???C10433433 ?C5 ?C5???C10?C6?C6???C10434 ???C10?C10?C11?330．
说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论：
mmmmm?1Cm?Cm?1?Cm?2???Cn?Cn?1．
mm?1m?1m?1m?1m?1m?1m?1左边?Cm?Cm?Cn?2?Cm?1?Cm?3?Cm?2???Cn?1?Cn?1?右边．
典型例题二
例2 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ （1）A、B必须当选；（2）A、B都不当选；（3）A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．
分析：本题是组合应用题中典型的选代表问题，通过一些明确的条件对结果进行限制．问题（1）A、B必须当选，它们就不必再考虑，只要再选出余下的代表．问题（2）A、B必须不当选，实际上就是去掉这几个元素不予考虑．问题（3）A、B不全当选可以从正反两方面考虑．从正面考虑可以按A、B全不选和A、B选一个分类，从反面考虑可用间接法，去掉A、B全选的情况．问题（4）可以按女生选2人、3人?进行分类，当然也可以
从反面考虑用间接法．问题（5）可以先处理特殊位置的体育班委与文娱班委．
33B选出外，解：（1）除A、从其它10个人中再选3人，共有的选法种数为C10，C10?120（种）．
5（2）去掉A、B，从其它10人中任选5人，共有的选法种数为：C10． ?252（种）5（3）按A、B的选取情况进行分类：A、B全不选的方法数为C10，A、B选1人51414的方法数为C2． ?C2C10?672（种）C10，共有选法C10本小题的另一解法：从12人中选5人的选法中去掉A、B全选的情况，所有选法只有
53． C12?C10?672（种）
方法一：按女同学的选取情况分类：
选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学．所有选法数为：
2332415． C5C7?C5C7?C5C7?C5?596（种）
方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为：
5514． C12?C7?C5C7?596（种）
（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取
1133人担任其它3个班委．用分步计数原理可得到所有方法总数为：（种）． C7?C5?A10?25200说明：对于本题第（4）小题，“至少有2名女生当选”，我们可能还有另外一种考虑，
23先从5名女生中选出2人，然后在剩下的10人中任选3人，得到的方法数为C5C10?1200（种），与上述答案比较，结果明显增多了，为什么会出现以上情况？上述步骤得到的选取结果虽然符合了有2名女生的要求，但在计数时出现了重复，比如先选两女生为a、b，剩下的10人中如果又选出了女生c，与先选两名女生为a、c后又选出了女生b，出现了同样的结果，因为选取问题仅考虑选出了哪些元素，至于先选后选并不考虑．这里需要我们引起注意的是以后遇到“至少”类型的问题，一般采用分类法或间接法解决，在选取问题中尽可能避免出现重复计数，我们还可以进一步从下一个例子加深理解．
典型例题三
例3 空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？
分析：本题如果从正面考虑可以按5个共面的点的选用情况进行分类．如果从反面考虑用间接法，只要去掉从5个共面的点中任取四个点的情况，因为共面的四个点不能构成四面体的四个顶点．
解：方法一：可以按共面的点取0个、1个、2个、3个进行分类，得到所有的取法总数为：C5C5?C5C5?C5C5?C5C5?205个．
04132231
方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，
44得到所有构成四面体的方法数为：C10． ?C5?205（个）
说明：以几何为背景的此类应用题中，间接方法用得比较多，在考虑去掉不符合要求的选法时，既不能多去，也不能少去，此外有时还需去掉一些重复计数的情况．比如：四面体的顶点和各条棱的中点共10个点，任取其中的4个点，其中不共面的取法有多少种？我们
4可以从10个点中任取4点．共有C10种取法，然后去掉下面几种情况，4个点取在四面体的4同一个面上，有4C6种取法；四个中点连成平行四边形的情形，有3种取法，还有3点在
四面体的一条棱上，另一点是其它点，不考虑已计算的四点在四面体同一面上的情况，共有
446种取法．用间接法可得不同的取法共有：C10． ?4C6?3?6?141（种）
典型例题四
例4 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．
分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。 解：第一类：五位数中不含数字零。
32 第一步：选出5个数字，共有C5C4种选法．
第二步：排成偶数—先排末位数，有P2种排法，再排其它四位数字，有P4种排法．
3214 ∴ N1?C5?C4?P2?P4（个）
14 第二类：五位数中含有数字零．
31 第一步：选出5个数字，共有C5种选法。 ?C4 第二步：排顺序又可分为两小类； （1）末位排零，有P1?P4种排列方法；
（2）末位不排零．这时本位数有C1种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有
114P31种排法，其余3个数字则有P33种排法．
∴ N2?C5?C4(P1?P4?P3P3)
∴ 符合条件的偶数个数为
3214311413N?N1?N2?C5C4P2P4?C5C4(P1P4?P3P3)
311413 ?4560（个）
说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请自行完成．
典型例题五
例5 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？
分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。
3第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B?C中选3人，即有C9种选法。因332是分步问题，所以有C3种选法。第②类，划左舷的人在A中选2人，有C3种选法，在?C913C中选1人，有C5种选法，划右舷的在B?C中剩下的8个人中选3人，有C8种选法。因213123是分步问题，所以有C3种选法。类似地，第③类，有C3种选法。第④类?C5?C8?C5?C7033有C3种选法。 ?C5?C633213123033因为是分类，所以一共有C3种选法。 ?C9?C3?C5?C8?C3?C5?C7?C3?C5?C633213123033解：C3 ?C9?C3?C5?C8?C3?C5?C7?C3?C5?C6 ?1?9?8?78?7?67?6?56?5?4?3?5??3?10??1?10?
1?2?31?2?31?2?31?2?3?84?840?1050?200?2174种
答：一共有2174种不同选法． 说明：这种比较复杂的在若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确对所求选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解．在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏．
这里是以集合A为基准进行分类，也可以集合B或集合C为基准进行分类，其结果是相同的，但一般都选择元素个数较少的集合作为基准来分类，这样可以减少分类，方便运算．
典型例题六
例6 甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方由1号队员出赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，?，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种类． 分析与解：若甲队取胜，比赛结果可能是7:0，7:1，7:2，7:3，7:4，7:5，7:6．
7:0只有一个过程；
17:1 共8场，乙队在前7场中胜一场，有C7种不同的过程；
