24．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）当t为何值时，点Q在线段AC的中垂线上；
（2）写出四边形PQAM的面积为S（cm2）与时间t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）当t为何值时，△APQ与△ADC相似．
【解答】解：（1）由题意CQ=AQ=8﹣2t， 在Rt△BCQ中，∵BC2+BQ2=CQ2， ∴62+（2t）2=（8﹣2t）2， 解得t=．
（2）∵四边形ABCD是矩形， ∴S矩形ABCD=AB?BC=8×6=48， ∵PM⊥AD，CD⊥AD， ∴PM∥CD， ∴△APM∽△ACD， ∴
=
=
，
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即 ==，
解得AM=t，PM=t， ∴S△APM=AM?PM=×t×t=∵sin∠PAQ=
=，
t2．
∴S△APQ=AP?AQ?sin∠PAQ=×2t（8﹣2t）×=t（4﹣t）， ∵S四边形PQAM=
t2+t（4﹣t）=﹣
t2+
t．
（3）存在t=2，使S四边形PQAM=如图2，
S矩形ABCD．
，
∵S四边形PQAM=∴
S矩形ABCD，
×48，
t2+t（4﹣t）=
整理，可得t2﹣20t+36=0 解得t=2或t=18（舍去）， ∴存在t=2，使S四边形PQAM=
S矩形ABCD．
（4）当t=2或1时，△APQ与△ABC相似． ①当△APQ∽△ACB， ∴即
=
， =
，
解得t=2，
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②如图3，
，
当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似， ∵tan∠PAQ==，
∴=， 即
=，
∴PQ=t， ∵BQ=2t， ∴AQ=8﹣2t， 在Rt△APQ中， ∵AP2+PQ2=AQ2，
∴（2t）2+（t）2=（8﹣2t）2， 解得t=1或t=﹣16（舍去）． 综上，可得
当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．
附加：初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型： 图形特征：
60°60°60°
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45°45°45°
运用举例：
1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；
yAOCBx
2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则
S1?S4? ．
1s1
2s2s33s4l
3. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E． （1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
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