?x1?x2?x3?L?xn??1?2?L3?n?∴ 2017于是，2017?n(n?1)。 2n(n?1)，n?63。 2又当x1?1，x2?2，x3?3，…，x62?62，x63?64时，
x1?x2?x3?L?x62?x63?1?2?3?L?62?64?∴ 所求n的最大值为63。
63?64?1?2017。 29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E点，若
OA?5，则CEAE
? 。 AB
【答案】
CE5 5AOB【解答】由AB为⊙O的直径知，AE?BC。设CE?m，则
OA?5m，AB?25m。
由条件易得△ACE∽△BAE，
（第9题）
∴
CEAE22?，AE?CE?EB，即AE?mEB。 AEBE222结合AB?AE?EB，得(25m)2?mEB?EB2。
（或由射影定理得BA?BE?BC，即(25m)2?BE?(BE?m)）
22∴ EB?mEB?20m?0，解得EB?4m或EB??5m（舍去）。
2∴ AE?2m，
AE2m5。 ??AB25m5333??x?y?z?3xyz10．若正整数x，y，z满足方程组?2，则xyz的最大值为 。
??x?7(y?z)【答案】 84
【解答】由x?y?z?3xyz，得
333 5
x3?y3?z3?3xyz?1222?(x?y?z)?(x?y)?(x?z)?(z?y)???0。 2结合x，y，z为正整数得，(x?y)2?(x?z)2?(z?y)2?0，于是x?y?z?0。 ∴ x?7x，x?7，y?z?7。
∴ 当x?7，y?3，z?4或x?7，y?4，z?3时，xyz有最大值84。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于x的方程x?(a?3)x?a?2?0有两个不相等的整数根，求a的值。 【解答】设x1，x2是方程两个不相等的整数根，则x1?x2?a?3，x1x2?a?2。 ∴ a?3，a?2均为整数。因此，a为整数。 …………………… 5分 ∴ △?(a?32)?4a(?2)?a22为完全平方数。 ?1a0?17?a(?5)?82222设(a?5)?8?t（t为整数，且t?0）。
则(a?5)2?t2?8。于是，(a?5?t)(a?5?t)?8。 …………………… 10分 由于a?5?t，a?5?t奇偶性相同，且a?5?t?a?5?t。 ∴ ??a?5?t??4?a?5?t?2或?。
?a?5?t??2?a?5?t?4?a?2?a?8或?。 …………………………… 15分
?t?1?t?1解得?经检验a?2，a?8符合要求。
∴ a?2或a?8。 ………………………… 20分 另解：设m，n（m?n）是方程两个不相等的整数根。
2??m?(a?3)m?a?2?0LLL则?2??n?(a?3)n?a?2?0LLL①②。
两式相减，得(m?n)(m?n)?(a?3)(m?n)?0。
由m?n，得m?n?a?3，a?m?n?3。 …………………… 5分
6
将a?m?n?3代入①，得mn?m?n?1?0。 ∴ (m?1)n(? …………………… 10分 1)?。2由于m，n为整数，且m?n，因此，??m?1??2?m?1?1或?。
?n?1??1?n?1?2∴ ??m??1?m?2或?。 …………………………… 15分 ?n?3?n?0当??m??1?m?2时，a?m?n?3?2；?时，a?m?n?3?8。
n?3n?0??∴ a?2或a?8。 ………………………… 20分
12．如图，H为△ABC的垂心，圆O为△ABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH长为半径的圆与圆O的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点。
求证：（1）AC垂直平分线段HE；
（2）DE?AB。
ADOBHCFE【解答】（1）解法一： 如图，连结AH，AE，EC。
由H为△ABC的垂心知，?AHC??ABC?180?。
（第12题）
A由A、B、C、E四点共圆，得?AEC??ABC?180?。
DC …………… 5分 ∴ ?AEC??AH。
又CH?CE，?CEH??CHE，
EOHCFBEAE?AH。 ∴ ?AEH??AH，
∴ AC垂直平分线段HE。…………………… 10分 解法二：
作点H关于直线AC的对称点G。连结AH，AG，GC。则
ADOBFH(G)ECCG?CH，点G在以C为圆心、CH长为半径的圆
上。 …………………… 5分
7
又?AGC??AHC，H为△ABC的垂心，
∴ ?AGC??AHC?180???ABC，A、G、C、B四点共圆。因此，点G也在圆O上。 ∴ E、G两点重合。
因此，E、H关于直线AC对称，即AC垂直平分线段HE。…………… 10分
（2） 连结CF，BH。依题意有CE?CH?CF。结合D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点，知CD为圆O的直径。
∴ DA?AC。
又由（1），以及H为△ABC的垂心知，HE?AC，BH?AC。因此，B、H、E三点共线。
∴ BE?AC。 …………………… 15分
ADOBFHCECDE?90???CBE??A∴ ?DCE?90???。C B?∴ DAE??AD。B
∴ DE?AB。 …………………… 20分
或：通过△DAE≌△ADB，证明DE?AB。或通过证明四边形ADBE等腰梯形，证明DE?AB。
13．对于整数n?3，用?(n)表示所有小于n的素数的乘积。求满足条件?(n)?22n?32的所有正整数n。
【解答】解法一：若n?11，则11整除?(n)，但11不能整除22n?32。
因此，n?11不符合要求。故，n?11。 ……………………………… 10分 若7?n?11，则?(n)?2?3?5?7?210，由210?22n?32，得n?11。………… 15分 若5?6?7，则?(n)?2?3?5?30，由30?22n?32，得正整数n不存在。 若3?n?5，则?(n)?2?3?6，由6?22n?32，得正整数n不存在。 若n?3，则?(n)?2，由2?22n?32，得正整数n不存在。
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