（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值． 考点：切线的性质；特殊角的三角函数值． 专题：探究型． 分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2； （2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因为∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC即可． 解答：（1）证明：连接OE， ∵⊙O与BC相切于点E， ∴OE⊥BC， ∵AB⊥BC， ∴AB∥OE， ∴∠2=∠AEO， ∵OA=OE， ∴∠1=∠AEO， ∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB； （2）解：2∠1+∠C=90°，tanC=∵∠EOC是△AOE的外角， ∴∠1+∠AEO=∠EOC， ∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°， ∴2∠1+∠C=90°， 当AE=CE时，∠1=∠C， ∵2∠1+∠C=90° ∴3∠C=90°，∠C=30° ∴tanC=tan30°=3． 33． 3
点评：本题考查的是切线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，在解答此类题目时要熟知“若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系”． 2．（2012?泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=25，求⊙O的半径和线段PB的长； （3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围． 考点：切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质． 专题：计算题；几何综合题． 分析：（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出52-r2=(25)2-（5-r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出 CPAP?，代入求出即可； PDBP（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案． 解答：解：（1）AB=AC，理由如下： 连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD， ∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r， ∴AB2=OA2-OB2=52-r2， AC2=PC2-PA2=(25)2-（5-r）2， ∴52-r2=(25)2-（5-r）2， 解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径， ∴∠PBD=90°=∠PAC， ∵∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴CPAP?， PDBP∴255?3?， 3?3BP65． 565； 5解得：PB=∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=111AC=AB=2221252?r2； 又∵圆O要与直线MN交点， ∴OE=52?r2≤r， ∴r≥5， 又∵圆O与直线l相离， ∴r＜5， 即5≤r＜5． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．
考点二：切线的判定 例2 （2012?铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB= 3，求△CBD的面积． 5 考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形． 专题：探究型． 分析：（1）先由AB是⊙O的直径可得出∠ADB=90°，再根据∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB即可得出∠ABF=90°，故EF是⊙O的切线； （2）作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中，AB=10，sin∠DAB= 3可求出BD的长，5再由C是弧AB的中点，可知∠ADC=∠CDB=45°，根据BG=DG=BDsin45°可求出BG的长，由∠DAB=∠DCB可得出CG的长，进而得出CD的长，利用三角形的面积公式即可得出结论． 解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°， ∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB， ∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°， ∴AB⊥EF ∴EF是⊙O的切线；
