2012年江苏省数学夏令营 复 数 与 方 程
复 数 与 方 程
江卫兵
( 南京师范大学附属中学 )
1.复数的几种表示形式
(1) 代数形式: z?x?yi(x,y?R,i2??1),其中x,y分别为复数z的实部和虚部,记作 x?Re(z),y?Im(z).
(2) 三角形式: z?r(cos??isin?),r?0,??R,其中r是复数z的模,记作|z|?r.?为复数z的幅角,记作Argz??,当0???2?时,记作argz??,称为z的幅角主值. (3) 几何形式: z?x?yi(x,y?R)?????|z|?|OZ|?x2?y2. 复平面内的点Z(x, y) ?????向量OZ,其中
?a?c 两个复数相等的充要条件: a?bi?c?di??(a,b,c,d?R).
b?d?2.复数的运算法则
加、减法：(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; 乘法：(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; r1(cos?1?isin?1)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)];
a?biac?bdbc?ad??i(c?di?0). c?bic2?d2c2?d2r(co?s?1)r11?isin 1?[co?s1(??2)?isin?(1??2)] .r2(co?s2?isin?2)r2除法：
乘方（棣莫弗定理）：[r(cos??isin?)]n?rn(cosn??isinn?)(n?N）； 开方：复数r(cos??isin?)的n次方根是nr(cos??2k?n?isin??2k?n)(k?0,1,?,n?1).
3.复数的模与共轭复数
复数的模的性质
①|z|?|Re(z)|,|z|?Im(z)|; ②|z1?z2?zn|?|z1|?|z2|?|zn|; ③|z1|z1||?(z2?0); ④||z1|?|z2||?|z1?z2|，向量OZ1、OZ2反向时取等号； z2|z2|⑤|z1?z2???zn|?|z1|?|z2|???|zn|，向量OZ1,OZ2?,OZn同向时取等号. 共轭复数的性质
①z?z?|z|2?|z|2； ②z?z?2Re(z),z?z?2Im(z)； ③z?z ④z1?z2?z1?z2； ⑤z1?z2?z1?z1； ⑥(z1z2)?z1z2(z2?0);
⑦z是实数的充要条件是z?z,z是纯虚的充要条件是z??z(z?0).
代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根. 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则z=a-bi也是一个根.
4.复数解题的常用方法与思想
（1）利用复数相等的充要条件（它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模相等辐角相差2?的整数倍）.，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.
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2012年江苏省数学夏令营 复 数 与 方 程 （2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.
（3）利用复数的几何形式“向量”及乘法运算的几何意义“旋转”可使相关问题获得解决. 5.赛题精讲
x12例1．设x1,x2 是实系数一元二次方程ax?bx?c?0的根，若x1是虚数，是实数，求
x22s?1?
x1xx?(1)2???(1)2012的值. x2x2x222例2.已知关于x的实系数方程x?2x?2?0和x?2mx?1?0的四个不同的根在复平面上对
应的点共圆，求m的取值范围.
例3.设复数z1?(2?a)?(1?b)i,z2?(3?2a)?(2?3b)i,z3?(3?a)?(3?2b)i,其中a,b?R，当z1?z2?z3取得最小值时，求3a?4b的值.
例4：已知a，b均为正整数，且a?b,sin??求证：对一切n?N*，An均为整数.
例5．设z是虚数，??z?2ab?22n(其中0???),A?(a?b)?sinn?, n2a2?b21是实数，且?1???2. z(1) 求|z|的值及z的实部的取值范围；
1?z, 求证：u为纯虚数； 1?z2(3) 求??u的最小值.
(2) 设u?
例6. 复平面内,△OAB的顶点A、B分别对应复数z1、z2,O为原点.若 |z1?2|?1,
z2?(1?i)z1,试求△OAB面积的最大值和最小值.
例7. 对正整数n,令Sn为
?k?1n(2k?1)?a的最小值,其中a1,a2,?,an?R,且?ak?17.若存
22k?nk?1在n,使Sn也为整数,求一切n的值.
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2012年江苏省数学夏令营 复 数 与 方 程 例8. 任给8个实数a1,a2,?,a8.证明:下面6个数a1a3?a2a4,a1a5?a2a6,a1a7?a2a8,
a3a5?a4a6,a3a7?a4a8,a5a7?a6a8中,至少有一个是非负数.
例9. 设z1,z2,?,zn为复数,且满足|z1|?|z2|???|zn|?1.求证:上述n个复数中,必存在若干个复数,它们的和的模不小于
1. 6
例10. 以四边形ABCD的各边为斜边向形外作等腰直角三角形△ABP、△BCQ、△CDR、△DAS.
求证: PR⊥QS且PR = QS.
例11. △ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形.现固定△ABC,而将△ADE绕A点在平面上旋转.试证:不论△ADE旋转到什么位置,线段EC上必存在亠点M,使△BMD为等腰直角三角形.
例12.证明：若P是△ABC所在平面内的任意一点，则 a?PB?PC?b?PA?PC?c?PB?PA?abc 其中a?BC,b?AC,c=AB
例１3. 设A,B,C,D为平面上任意四点，求证：AB?DC?BC?AD?AC?BD.
例14. 过正五边形中心作一直线,使五边形各顶点到这条直线的距离平方和为最小,试求直线方程.
例15, 设A，B，C分别是复数z0?ai,z1?1?bi,z2?1?ci(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的2三点．证明：曲线z?z0cos4t?2z1cos2t?sin2t?z2sin4t(t?R)与△ABC中平行于AC的中位
线只有一个公共点，并求出此点．
|1且q??1, 复数例16. 设n个复数z1,z2,?,zn成等比数列,其中|z1|?1, 公比为q,|q?w1,w2,?,wn满足条件:wk?zk?1?,n,h为已知实数.求证:复平面内表示?h,其中k?0,1,zkw1,w2,?,wn的点P1,P2,?,Pn都在一个焦距为4的椭圆上.
例17. 证明:正三角形的三个顶点不可能都是格点.
???cn?1z?cn是n次复系数多项式(c0?0).
求证：一定存在一个复数z0,|z0|?1，并且|f(z0)|?|c0|?|cn|.
例18 已知f(z)?c0z?c1z第3页
nn?12012年江苏省数学夏令营 复 数 与 方 程 6.练习题 1．设w?cos?552．已知(3?i)m?(1?i)n(n,m?N?)，则mn的最小值是__________；
3.当n?N,且1≤n≤100时，[(4.设
?isin?，则(x?w)(x?w3)(x?w7)(x?w9)的展开式为__________；
3?i7)?1]n的值中有实数__________个； 213i,z1???z,z2???z,z1,z2对应复平面上的点A,B，点O为原点，
22?AOB?90?,|AO|?|BO|，则△OAB的面积是 ；
????????5.已知?,?是方程ax2?bx?c?0(a,b,c?R)的两根，且?是虚数，是实数，则???的
?k?1???59852k值是 ；
6．二次方程ax?x?1?0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围.
7．集合A?{z|z18?1},B?{w|w48?1},C?{zw|z?A,w?B}，问：集合C中有多少个不同的
元素？
21?ixn)?A的所有根都是不相等的实根（n∈N+）. 1?ix29．已知方程x?(4?i)x?4?ai?0(a?R)有实根b,且y?a?bi,求复数z(1?ci)(c?0)的幅角
8．证明：如果复数A的模为1，那么方程(主值的取值范围.
x2?x?1?x2?x?1的值域.
m?311．知复数z?3?33i?m,m?C,且为纯虚数.
m?322(1)求z在复平面内对应点的轨迹; (2)求argz的范围; (3)求|z?1|?|z?1|的最小值及相应的
10．对于x?R,试求函数y?复数.
12．平面内,点集S?{z|z?z?1?0,z?C中},除去某一个点外的所有的点都在 圆环
3135?|z|?中. 3413．BC所在平面内的任一点,记BC?a,CA?b,AB?c,PA?u,PB?v,
PC?w,求证:
uvw???3. abc14．设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点所对应的复数依次为 z1,z2,?,z20,则复数
1995z1,z1995,?,z1995220所对应的不同点的个数有多少?
15.在关于x的二次方程x2?z1x?z2?m?0中z1,z2,m均是复数，且z1?4z2?16?20i.设这个方程的两个根为?、?，且满足|???|?27. 求|m|的最大值和最小值. 16．设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足
2?a2a3a4a5?????a1a2a3a4 ??a?a?a?a?a?1(a?a?a?a?a)?S,1234512345?4?其中S为实数且|S|≤2，求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.
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