2-1 证明：因为f(t)?11[f(t)?f(?t)]?[f(t)?f(?t)] 2211令fe(t)?[f(t)?f(?t)]，fo(t)?[f(t)?f(?t)]则
22fe(t)?fe(?t)，fo(t)??fo(?t)
即fe(t)为偶函数，fo(t)为奇函数，这说明任意函数f(t)总可以表示为偶函数
fe(t)和奇函数fo(t)之和。
11[U(t)?U(?t)]，fo(t)?[U(t)?U(?t)]； 221??t?t1??t?t??t对于e来说，fe(t)?(e?e)，fo(t)?(e?e)；
221jt1jt?jt?jtjt对于e来说，fe(t)?(e?e)?cost，fo(t)?(e?e)?jsint。
22对于U(t)来说，fe(t)?2-2 证明：对于周期为T的周期函数f(t)，其指数傅里叶级数的系数为：
1ck?2T1 ?2T其中????T/2?T/2T/2f(t)e?jk?t1dt?2T?T/2?T/2[f(t)cosk?t?jf(t)sink?t]dt
?T/2jf(t)cosk?tdt?2T?T/2?T/2f(t)sink?tdt2? T若f(t)为偶函数，则上式中第二项积分为0，从而指数傅里叶级数的系数ck为实数；同理，若f(t)为奇函数，则上式中第一项积分为0，从而指数傅里叶级数的系数ck为纯虚数。
2-3 证明：（1）f(t)的傅里叶变换可以表示为
F(?)?? ????????f(t)e?j?tdt??[f(t)(cos?t?jsin?t)]dt????????
??f(t)cos?tdt?j?f(t)sin?tdt（2）若f(t)为偶函数，则（1）中第二项积分为0，于是
F(?)??????f(t)cos?tdt?2???0f(t)cos?tdt
（3）若f(t)为奇函数，则（1）中第一项积分为0，于是
F(?)??j?????f(t)sin?tdt??2j???0f(t)sin?tdt
（4）a. f(t)为实偶函数时，由（2）知
F(??)?2???0f(t)cos(??t)dt?2???0f(t)cos?tdt?F(?)
所以F(?)为实偶函数。
b. 同上，f(t)为虚偶函数时，F(?)为偶函数。 c. f(t)为实奇函数时，由（3）知
F(??)??2j???0f(t)sin(??t)dt?2j???0f(t)sin?tdt??F(?)
所以F(?)为虚奇函数。
d. f(t)为复函数时，显然，F(?)仍为复函数。 e. 同c，易知f(t)为复奇函数时，F(?)为复奇函数。
2-4 证明：用相关定理，由于R(?)?F?(?)F(?)，所以
R(?)?12??????F?(?)F(?)ej??d?
而R(?)??????f(t)f(t??)dt，令??0可得
?????1f(t)dt?R(0)?2?2?????F(?)F(?)e?j?01d??2??????F(?)d?
2即为Parseval定理。
?用卷积定理，由于f(?)?f(??)?F(?)F(??)?F(?)F(?)?F(?)，所以
2f(?)?f(??)?12??????F(?)ej??d?
2而f(?)?f(??)?故可得
?????f(t)f(?(??t))dt，令??0可得
?????f2(t)dt?12??????F(?)ej?0d??212??????F(?)d?
2即为Parseval定理。
2-5 解：对于x(t)，我们有T0?2T，?0?2???/T， 2T?A(t??/2)??/2?T ?T?t???/2??A(t??/2) ??/2?t?0??/2 于是 xT0(t)??A(t??/2)? 0?t???/2???/2?A(t??/2)? ?/2?t?T??T??/21Cn?T0???/2001???/2A(t??/2)?jn?0tA(t??/2)?jn?0tx(t)edt?edt????T0/2T0???/2?/2edt2T???T?/2?TTA(t??/2)A(t??/2)?jn?0t?edt??e?jn?0tdt??/2T??/2??/2?T0/2?jn?0t1?A??2T??/2?T??jtj?1??jn?0t??e?2?n?2n?(n?)00?0??/2??/2?TA?jtj?1??jn?0t?????e?/2?n?02n?0(n?0)2?T0??/2A?jtj?1??jn?0t?????e??/2?n?02n?0(n?0)2?0A?jtj?1??jn?0t?? n?0???e?2??T??/2?n?02n?0(n?0)??/2?C0?A 2因此X(?)?2??C?(??n?)，P(?)?2??Cn0????????2n?(??n?0)。
?t/T0?1 当 ?T0?t?0时?2-6 解：(a) 由于x(t)???t/T0?1 当 0?t?T0时，h(t)??(t?T0)??(t?T0)，
?0 其它?所以
当0???T0时，Rxh(?)??Rxh(?)??Rxh(?)??Rxh(?)??????x(t)h(t??)dt??(T0??)/T0?1??/T0当T0???2T0时，????x(t)h(t??)dt?(T0??)/T0?1?2??/T0当-T0???0时，????
x(t)h(t??)dt?(?T0??)/T0?1???/T0当-2T0???-T0时，????x(t)h(t??)dt??(?T0??)/T0?1?2??/T0?t/T0?1 当 ?T0?t?0时T?(b) 由于x(t)???t/T0?1 当 0?t?T0时，h(t)??(t?T0)??(t?0)，
4?0 其它?所以
3当0???T0时，4Rxh(?)??????x(t)h(t??)dt??(T0??)/T0?1?(?T0/4??)/T0?1?343当T0???T0时，4Rxh(?)??Rxh(?)??Rxh(?)??Rxh(?)??????x(t)h(t??)dt??(T0??)/T0?1??/T0
当T0???2T0时，????x(t)h(t??)dt?(T0??)/T0?1?2??/T0当-T0/4???0时，????x(t)h(t??)dt?(?T0/4??)/T0?1?3/4??/T0当-5T0/4???-T0/4时，????x(t)h(t??)dt??(?T0/4??)/T0?1?5/4??/T0(c) 由于x(t)??所以
??t/T0?1 当 0?t?T0时?0 其它，h(t)??(t?T0/2)??(t?T0/4)
当-T0/4???T0/2时，Rxh(?)??Rxh(?)??Rxh(?)??????x(t)h(t??)dt??(T0/2??)/T0?1?1/2??/T0
当-T0/2????T0/4时，????x(t)h(t??)dt??(T0/2??)/T0?1?(?T0/4??)/T0?1?7/4?2?/T0当-5T0/4???-T0/2时，????x(t)h(t??)dt??(?T0/4??)/T0?1?5/4??/T0?t/T0?1 当 ?T0?t?0时TT?(d) 由于x(t)??t/T0?1 当 0?t?T0时，h(t)??(t?0)??(t?0)
44?0 其它?所以
