第3讲 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1.(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsin x中，偶函数的个数是( ) A.3
B.2
C.1
D.0
x2－2与
解析 y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lgy＝xsin x为偶函数. 答案 B
2.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数
解析 易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，
又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数， 所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数. 答案 A
3.(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为( ) A.5
B.1
C.－1
D.－3
解析 ∵y＝f(x)是奇函数，且f(3)＝6.∴f(－3)＝－6，则9－3a＝－6，解得a＝5. 答案 A
?x1?4.已知函数f(x)＝x?e－ex?，若f(x1) ?? A.x1>x2 C.x1 B.x1＋x2＝0 2 D.x21 ?1? 解析 ∵f(－x)＝－x?ex－ex?＝f(x). ??∴f(x)在R上为偶函数， 1?x1?f′(x)＝e－ex＋x?e＋ex?， ?? x ∴x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 由f(x1) 2 ∴|x1|<|x2|，∴x21 答案 D 5.(2017·西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( ) A.2 B.1 C.－1 D.－2 解析 ∵f(x＋1)为偶函数， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)， 又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0. 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4. ∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 答案 A 二、填空题 6.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 解析 由于f(－x)＝f(x)， ∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax， 化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0， 3 ∴a＝－2. 3 答案 －2 7.(2017·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析?x（1－x），0≤x≤1，?29??41?式为f(x)＝?则f?4?＋f?6?＝________. ?????sin πx，1 π53?29??41??3??7??3??7?所以f?4?＋f?6?＝f?－4?＋f?－6?＝－f?4?－f?6?＝－16＋sin 6＝16. ????????????5答案 16 ?1?8.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f?2?＝0，则满足f(x)>0 ??的x的集合为________. ?1?解析 由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f?2?＝0，得函数y＝f(x)在(－∞， ???1?0)上递增，且f?－2?＝0， ??11 ∴f(x)>0时，x>2或－2 ??11??x?－ 2???2 三、解答题 9.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当 －1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性； (2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式. 解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(－x)＝f(2＋x). 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x). 又f(x)的定义域为R， ∴f(x)是偶函数. (2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]， 则f(x)＝f(－x)＝x； 进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. ?－x，x∈[－1，0]， 故f(x)＝?x，x∈（0，1）， ?－x＋2，x∈[1，2].? 10.已知函数f(x)＝?0，x＝0， ?x2＋mx，x<0 (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 解 (1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x). 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， ?a－2>－1， 结合f(x)的图像知?所以1 ?a－2≤1，故实数a的取值范围是(1，3]. 11.(2017·南昌一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，2a－3f(5)＝，则实数a的取值范围为( ) a＋1A.(－1，4) C.(－1，0) B.(－2，0) D.(－1，2) －x2＋2x，x>0， 是奇函数. 解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
