2-2第三章 复数 章末检测
一、选择题
1． i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则
A．i∈S
B．i2∈S C．i3∈S
( )
9． 若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )
A．第一象限 C．第三象限
－
B．第二象限 D．第四象限
( )
2D.∈S i
10．已知f(n)＝in－in(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是
A．2 二、填空题
B．3 C．4
D．无数个
2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3＋i
3． i是虚数单位，复数等于
1－i
A．1＋2i
( )
11．复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的
取值范围是________． 12．给出下面四个命题：
①0比－i大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集
D．2－i
( )
一一对应．其中真命题的个数是________．
13．已知0 ( ) ??2x－1＝y ①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有?； ?1＝－?3－y?? B．2＋4i C．－1－2i a－i 4． 已知a是实数，是纯虚数，则a等于 1＋i A．1 B．－1 C.2 D．－2 5． 若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于 A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i →→→ 6． 在复平面内，O是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i， → 那么BC对应的复数为 ( ) ②2＋i>1＋i； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在； 1 ⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限． i三、解答题 15．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时， A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i 7． (1＋i)20－(1－i)20的值是 A．－1 024 ( ) D．1 024i ( ) B．1 024 C．0 1＋7i 8． i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是 2－i A．－15 (1)z是实数？(2)z是纯虚数？ 1 B．3 C．－3 D．15 ．已知复数z1＝1－i，z1·z2＋z1＝2＋2i，求复数z2. ?2＋2i?4．计算：(1)?1－3i?5 ； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. ．实数m为何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点在：(1)x轴上方； (2)直线x＋y＋5＝0上． 19．已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部是2. (1)求复数z； (2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 20．设z1 1是虚数，z2＝z1＋z是实数，且－1≤z1 2≤1. (1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z1 1＋z，求证：ω为纯虚数． 1 2 16 17 18 答案 1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．(3,4) 12．0 13．(1，5) 14．⑤ 15．解 (1)要使复数z为实数，需满足???m2－2m－2>0 ?? m2＋3m＋2＝0 ，解得m＝－2或－1.即当 m＝－2或－1时，z是实数． 2 (2)要使复数z为纯虚数，需满足???m－2m－2＝1 ?? m2＋3m＋2≠0 ，解得m＝3. 即当m＝3时，z是纯虚数． 16．解 因为z1＝1－i，所以z1＝1＋i， 所以z1·z2＝2＋2i－z1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i. 设z2＝a＋bi(a，b∈R)， 由z1·z2＝1＋i， 得(1－i)(a＋bi)＝1＋i， 所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i， 所以???a＋b＝1 ?， ? b－a＝1 解得a＝0，b＝1， 所以z2＝i. 16?1＋i?4 17．解 (1)原式＝?1－3i?4?1－3i? ＝16?2i?2 ?－2－23i?2?1－3i? ＝－64－16 4?1＋3i?2 ?1－3i?＝?1＋3i?×4 ＝ －4 1＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 18．解 (1)若z对应的点在x轴上方， 则m2－2m－15>0， 解得m<－3或m>5. (2)复数z对应的点为(m2＋5m＋6，m2－2m－15)， ∵z对应的点在直线 x＋y＋5＝0上， ∴(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0， 整理得2m2＋3m－4＝0， 解得m＝－3±414 . 19．解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab ＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1， 所以z＝1＋i或z＝－1－i. (2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1. 20．(1)解 设z11a 1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋z＝a＋bi＋＝(a＋1a＋bia2＋b 2)3 b ＋(b－22)i. a＋b 因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a. 111 由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是[－，2221 2 ]． (2)证明 ω＝1－z11－a－bi 1＋z＝11＋a＋bi 1－a2－b2＝－2bib?1＋a?2＋b2＝－a＋1 i. 因为a∈[－12，1 2 ]，b≠0，所以ω为纯虚数． 4
