浙江大学2008年数学分析考研试题解答
tttsint一、证明：（1）limcoscos2?cosn?
n??2t22证明 : limcosn??tttcos2?cosn 222tttt(coscos2?cosn)sinn2222 =limn??tsinn2=limn??sint2nsint2n?limsintsint?； n??sin2?nttt2?nt（2）利用（1）证明2??1111?22221111???? 2222证明：利用cos2?limcosn???4?1?11?，及cosn?1??cosn， 22222?cos3?22?cos?2?2n?1， 即得 2?1111?22221111???? 。 2222?二、已知f(x)在x?0处连续可导，且f(0)?0,f?(0)?5,试求如下极限： lim11f(xt)dt。 x?0x?01解 g(x)??0111f(xt)dt??f(u)du，（x?0）；显然g(0)??f(0)dt 0x0f(u)du11?0lim?f(xt)dt?lim x?0x0x?0x2?limx?0xf(x)1f(x)?f(0)15?lim?f?(0)?。 2x2x?0x?022三、讨论下面级数的收敛性：?(1?
11sinnx。 ???)2nn1
解 令an?sinnx，
bn?111(1????), n2n由于bn?bn?1? =
111111(1????)?(1????) n2nn?12n?11111111(1?)(1????)?(1????) n?1n2nn?12n?1111111(1????)?(1????)?0， n?12nn?12n?1?所以?bn?单调递减. 又因为limn1111?0所以limbn?lim(1????)?0。 n??nn??n??n2n而 ?ak?k?1?sinkx?k?1n1sinx2, (x?2k?) 即 ?ak的部分和有界， k?1?于是,由Dirichlet判别法可知级数收敛； 当 x?2k?时，显然级数收敛。 四、设f?x?是区间I上的有界函数，证明f?x?在区间I上一致连续的充分必要条件是对任给的??0，总存在正数M，使得当x,y?I，x?y，且f?y??f?x???. f?y??f?xy?x??M时，就有证明 充分性 用反证法. 假若f?x?在区间I上不一致连续，则存在?0?0，存在?xn?,?yn??I， 使得xn?yn?即有
1，但f?xn??f?yn???0， nf?xn??f?yn??n?0，
xn?yn由假设条件，对
?02?0，只需要n充分大，
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就有f?xn??f?yn??矛盾
?02，
所以f?x?在区间I上一致连续； 必要性 设f?x?在区间I上一致连续， 用反证法若结论不成立， 则存在?0?0，对任意正整数n，存在?xn?,?yn??I， 使得f?xn??f?yn??n， xn?yn但f?xn??f?yn???0. 即有xn?yn?2M?，?M?supf?x???， nx?I??这与f一致连续矛盾. 注：对函数f?x??C，或者f?x??x，显然在I上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的?xn?，?yn?不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.
五、证明黎曼?函数 ?(x)??1 xn?1n?在(1,??)内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。 （这种性质，也称为无穷次可微。） 证明令un(x)?显然
un(x)?1?(x)??n?xlnn， ?n?x，unxn1?n?x， xn??(x)?n?x(lnn)2， un[un(x)](k)?(?1)kn?x(lnn)k，
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k?1,2,3?
都在(1,??)上连续；
对任何??1，当x??时，
un(x)??(x)?un1， n?1lnn， ?n1(lnn)k， ?n[un(x)](k)?而?1k收敛， (lnn)?n?1n?????(x)，?[un(x)](k)， 所以?un(x)，?unn?1n?1n?1（k?1,2,3,?） 都在[?,??)上一致收敛， 故?(x)??1 xn?1n?在[?,??)内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。 由于??1是任意的，所以 ?(x)??1 xnn?1?在(1,??)内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。 显然?1在(1,??)内非一致收敛， xnn?11在(1,??)内不一致连续。 xn?1n???(x)??假若?(x)??x?11在(1,??)内一致连续， xnn?1??(x)?A存在且有限， 则有lim?
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