??π
在锐角△ABC中，?0 π0 ??π即?0<2A<，2 π?0<π－3A<，?2 π 0 ππAC∴ A、B、C、D四点共面) 解：由已知得CD＝15，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°， ∴∠CAD＝30°， 在△ACD中，由正弦定理得∴AD＝153； ∵∠BDC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°， 在△BCD中，由正弦定理得， 15BD＝，∴BD＝56； sin60°sin45° 在△ABD中，∠ADB＝45°，由余弦定理得 15AD＝， sin30°sin120° AB＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB ＝?153?＋?56?－2·153·56cos45° ＝515 故两小岛间的距离为515海里． 5 2 2 11．(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC.② 1 由①，②得cosC＝，故C＝60°，BD＝7. 2(2)四边形ABCD的面积 S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC 1?1?＝?×1×2＋×3×2?sin60°＝23. 2?2? 1 212 1．在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( ) A．2.7 m C．37.3 m 解析： B．17.3 m D．373 m 依题意画出示意图，则 CM＋10 ＝， tan30°tan45° tan45°＋tan30°∴CM＝×10 tan45°－tan30° 6 CM－10 ≈37.3(m)． 答案：C 2．(2014·浙江卷) 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)，若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是( ) A. 30 543 9 B.30 10 C. 53D. 9 AB1534 解析：由题意，在△ABC中，sin∠ACB＝＝＝，则cos∠ACB＝. AC2555 作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示． 设PH＝x，则CH＝3x，在△ACH中，由余弦定理得 AH＝AC2＋CH2－2AC·CH·cos∠ACB ＝625＋3x－403x，tan∠PAH＝ 2 PHAH 7 ＝ 531≤(>0)， 9x625403 ＋32－1 xx14353 故当＝时，最大值为. x1259答案：D 3．(2014·新课标全国卷Ⅰ) 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________ m. 解析：设MN＝x m，则MA＝ 2x3 m．△ABC中，BC＝100 m，则AC＝1002 m，在△MAC中， ∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝， sin∠AMCsin∠MCA 2x31002 则＝解得x＝150. sin45°sin60°答案：150 4．山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a. (1)如图(1)，若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用a，α，β表示山的高度h. (2)如图(2)，若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的正投影．已知石塔高度a＝20，当观测点E在AD上满足DE＝6010时，看BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h. ACMA 8 解：(1)在△ABC中，∠BAC＝α－β，∠BCA＝90°＋β， 在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin∠BACsin∠BCA， ∴AB＝ asin?90°＋β? acosβsin?α－β?＝sin?α－β? . 则h＝AB·sinα－a＝acosβsinαsin?α－β?－a＝a·cosαsinβ sin?α－β? . (2)设DE＝x，∵tan∠BED＝ h＋20hx，tan∠CED＝x， ∴tan∠BEC＝tan∠BED－tan∠CED1＋tan∠BED·tan∠CED 20 ＝ x1＋?h＋20?h＝20?h＋20?h≤10 h?h. x2 x＋＋20?x当且仅当x＝?h＋20?hx， 即x＝h?h＋20?时，tan∠BEC最大，从而∠BEC最大， 由题意，h?h＋20?＝6010， 解得h＝180. 9
