课时作业25 正弦定理、余弦定理应用举例
一、选择题
1．如上图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )
A．c和α C．c和β 答案：D
2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )
A.
150
分钟 7
15
B. 分钟 7D．2.15小时 B．c和b D．b和α
C．21.5 分钟 解析：
如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC
1
＝120°，∴DC＝AD＋AC－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)＋(6t)－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t－20t＋100.
551502
当t＝时，DC最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．
14147答案：A
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里 C．353海里
B．352海里 D．70海里
2
22222
解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝CE＋CF－2CE·CFcos120°
＝50＋30－2×50×30cos120°＝70. 答案：D
4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 C．2cos10°
B．2sin10° D．cos20°
2
2
2
2
解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.
在△ABD中，由正弦定理
＝，
sin160°sin10°
ADABsin160°sin20°
∴AD＝AB·＝＝2cos10°.
sin10°sin10°答案：C
π
5．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
4A.10 10
B.
10 5
2
C.
310
10
2
D.
5 5
解析：由余弦定理得AC＝9＋2－2×3×2×
2
＝5，所以AC＝5；再由正弦定理2
23×
2310ACBC＝代入得sin∠BAC＝＝.
sin∠ABCsin∠BAC105
答案：C
6．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始__________h后，两车的距离最小．( )
69
A. 4370C. 43解析：
B．1 D．2
如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x， ∴y＝(200－80x)＋(50x)－2×(200－80x)·50x·cos60° 整理得y＝12 900x－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5) 702
∴当x＝时y最小．
43答案：C 二、填空题
7．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m.
15
解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝53(m)．
tan60°
2
2
2
2
2
3
答案：53
8．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北4
θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝.已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为
5________海里/小时．
432423
解析：因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos(45°－θ)＝×＋×
552525＝
72722
，在△ABC中，BC＝800＋100－2×202×10×＝340，所以BC＝285，该货船的1010
船速为485海里/小时．
答案：485
9．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________；边长AC的取值范围为
cosA________．
ACBCAC1AC解析：由正弦定理得，＝，∴＝，
sinAsinBsinAsin2A∴
1ACAC＝，∴＝2. sinA2sinAcosAcosA 4
