长春师范学院本科毕业论文（设计）
几类常见的不可数集合证明
摘要：文中首先介绍实变函数论的背景、由来和在数学领域中的作用,并由实变函数引出其最为基础的可数集合和不可数集合.最后给出本文的主要内容---几种常见的不可数集合及其证明方法.本文多次利用反证法证明一个集合是否为不可数集合,并对几种常见的不可数集合证明方法作一个总结归纳.
关键词：可数集 不可数集合 无理数集 实数集合 康托尔集
在大学,我有幸接触到了《实变函数论》.对于这门课程,初次接触就被它的高深和精细所吸引.“实变函数”是以实数作为自变量的函数,它和古典的数学分析是不同的,它不仅是一种比较高深和精细的理论,还是数学的一个重要分支，而且它的应用非常广泛.
在《实变函数论》中,可数集与不可数集合是最为基本的知识.之所以选择它们来进行研究,主要考虑到以下几个方面：
首先,不可数集合虽然是实变函数课程中最为基本的内容,但也是最繁琐的内容.本文旨在对几种常见的不可数集合证明方法作出总结和归纳,以达到化繁为简的目的.
其次,不可数集合已经成为某些数学领域的重要工具,而且它在各个数学领域之中的应用,对于形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响.其中康托尔集在现代物理学科研究领域上也被广泛应用.基于以上几点,本文专门对常见的不可数集合证明方法作出总结.
下面就让我们先来认识一下可数集和不可数集：
1 可数集和不可数集的定义和性质
1.1 可数集和不可数集的定义
定义1.1 凡和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数集合或者可列集合.
1
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由于N可按大小顺序排列成一无穷序列：
1,2,3,?,n?,
因此,一个集合A是可数集合的充要条件为: A可以排成一个无穷序列：
a1,a2,a3,?,an,?.
例如,全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立如下的一一对应.
自然数
1,2,3,4,5,6,?,n,?, 正偶数
2,4,6,8,10,12,?,2n,?, 正奇数
1,3,5,7,9,11,?,2n－1,?.
这说明一个可数集可以含有可数的真子集,反过来,两个可数集也可以并成一个可数集.整数集与有理数集都是可数集.
定义1.2 不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合.
不可数集是无穷集合中的一种.一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系和法则）,那么它就是一个不可数集.譬如无理数集就是不可数集.
1.2 可数集和不可数集的性质 可数集的性质：
(1) 任何无限集合都至少包含一个可数子集.
(2) 可数集合的任何无限子集必为可数集合,从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.
(3) 设A为可数集,B为有限或可数集,则A?B为可数集. (4) 设Ai?i?1,2,3,...?都是可数集,则?Ai也是可数集.
i?1?(5) 设Ai?i?1,2,...,n?是有限集或可数集,则?Ai也是有限集或可数集,但
i?1n 2
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如果至少有一个Ai是可数集,则?Ai必为可数集.
i?1n(6) 有理数全体成一可数集合.
(7) 若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号
(1)(2)跑遍一个可数集A=ax1,x2,...,xn xk?xk,xk,...;k?1,2,...,n,则A为可数集.
????(8) 代数数的全体成一可数集. 不可数集的性质：
(1) 全体实数所成之集合R是一个不可数集合.
(2) 任意区间?a,b?,?a,b?,?a,b?,?0,??,?0,??均具有连续基数c.（这里a?b）. (3) 设A1,A2,...,An,...是一列互不相交的集合,它们的基数均为c,则它们的和集的基数也为c.
(4) 实数列全体E∞的基数为c. (5) n维欧几里得空间Rn的基数为c.
(6) 设M是任意的一个集合,它的所有子集作成新的集合?则??M. (7) 若用c表示全体实数所成集合R的基数,用a表示全体正整数所成集合
N的基数,则c?a.
(8) 设有c个（c表示连续基数）集的并集,若每个集的基数都是c,则其和集的基数也是c.
2 全体实数所成之集合R是一个不可数集合
实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.通俗地认为,包含所有有理数和无理数的集合就是实数集.
18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.但当时的实数集并没有精确的定义.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.定义是由四组公理为基础的：加法公理；乘法公理；序公理；完备公理；符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集,实数集的元素就是实数.
定理2.1 全体实数所成之集合R是一个不可数集合.
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证法一 用反证法证明.因为实数集合与?0,1?是有一一对应的,故只需说明
?0,1?不可数就可以了.
因为f：?0,1?→R是双射函数,令S={x|x∈R (0 假设S是可数的,则S必可表示为：S＝{S1,S2,…},其中Si是 ?0,1?区间的任意实数. 设Si＝0.y1y2y3....,其中yi∈?0,1,2,...,9?,设 S1?0.a11a12a13...a1n..., S2?0.a21a22a23...a2n..., S3?0.a31a32a33...a3n..., ???????? 其次,我们构造一个实数r=0.b1b2b3...使 ?1，ajj?1，. . j?1,2,...bj?a?1．?2，jj这样,r与所有实数S1,S2,...,Sn,...不同,这证明了r?S,与假设产生矛盾,因此S是不可数的,即R是不可数集. 在第二种证明方法之前先来回顾一下闭区间套定义以及定理. 定义2.1 设有一闭区间列??an,bn??,具有如下性质: (1)?an,bn???an?1,bn?1? ，n?1，2，...；(2)lim?bn?an??0 n??则称这闭区间列??an,bn??,为一个闭区间套,或简称区间套. 定理2.2 若??an,bn??是一区间套,则存在唯一的??R，使得???an,bn?， （n?1,2,...）,即an???b. （,2,...）nn?1下面我们利用闭区间套定义和定理来证明实数集合是不可数集合. 4
