第 24讲 三角形面积
知 识 精 要 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．
为便于实际问题的研究，我们会常常用到以下结论： 1．等底等高的三角形面积相等
2．底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如右图
CDAB3．如果两个三角形的高相等，那么它们的面积比等于它们的底之比，如下图
SSSBD?ABD??EBD??ABE?SS?EDCS?AECDC ?ADC
S?AEBS?AECS?ABCAE???S?DEBS?DECS?DBCDE典 型 例 题 例1（“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题）如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，
BD?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
AEB
AEC乙D甲B甲D乙C1
【解析】显然乙部分图形是不规则的四边形，我们无法直接计算出它的面积，通常我们通过连接对角线把它划分成两个三角形来进行计算，然后在通过面积比等于底边之比来进行运算。
解：连接AD． 因为BE?3，AE?6 所以AB?3BE，S△ABD＝3S△BDE
又因为BD?DC?4，
所以S△ABC＝2S△ABD=6S△BDE，所以S乙?5S甲 变式训练
1．如图，三角形ABC的面积是1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BED的面积。
2. 如右图，已知在△ABC中，BD=3AD，CE=2AE．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
ADECB
例2（2005少年智力冬令营试题）如图，三角形ABC的面积为2平方厘米，AE＝ED，BD=2CD，求阴影部分的面积。
B
D E A F A F E B D
C C
【解析】 阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,
连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。 解：连接DF，因为BD=2CD，所以S△BDF＝2S△DCF。
2
又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝2平方厘米，所以S△DCF＝2÷5＝0.4（平方厘米），则阴影部分的面积为0.4×2＝0.8（平方厘米）。 变式训练
1
3．如图所示AE=ED，DC＝ BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。
3
A B
C
D
1
4．如图所示，DE＝ AE，BD＝2DC，阴影部分的面积S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC
2A 的面积。
B
例3（2004年祖冲之杯小学数学邀请赛试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于_______.
AE F E F D
C
A33EF312CDAEFBDCEBDFCB
【解析】 显然四边形DFEC是一个不规则的四边形，因此还是要把它划分成两个三角形来
进行计算，就本题而言，我们可以连接CF，也可以连接DE.解：
方法一：连接CF，则有设S△BDF如图所标
S△ABFBD1S△ABFAE??1, ??，
S△ACFDC2S△CBFEC?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，
3
所以SDCEF?55S△ABC? 121211S?S?方法二：连接DE，由题目条件可得到△ABD， △ABC331121BFS△ABD1??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以FES12233△ADE1111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，
22323212而S△CDE? 变式训练
5．在下图中，三角形ABC被分成四块，其中三块的面积分别是4、6、12平方厘米，四边形AEOF的面积是多少？
6．如图，已知BD?3DC，EC?2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面
积各占△ABC 面积的几分之几？
A211??S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于5． 32312EOBDC
4
