高中数学基础知识归类——献给2013年高三考生
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如：{x|y? {(x,y)|y?lgx}—函数图象上的点集. ②空集是任何集合的子集,记为? 如：A ④CU（A?
?{x|ax2lgx}—函数的定义域；{y|?Ay?lgx}—函数的值域；
2.集合的性质： ①任何一个集合A是它本身的子集,记为A?A.
??.
?B ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A?2x?1?0},在讨论的时候不要遗忘了A?0的情况
,如果A?R???,求a的取值.(答：a；（A?)
(A?B)?CUA?CUB,CU(A?B)?CUA?CUBB）?C?A?（B?C）；
B）?C?A?（B?C）.
⑤A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R.
?2 ⑥A?B元素的个数：card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B). ⑦含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为2n?1；非空真子集个数为2n3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数
f(x)?4x2.
?2(p?2)x?2p2?p?132在区间[?1,1]上至少存在一个实数c,使
f(c)?0,求实数p的取值范围.(答：(?3,))
4.原命题: p?q；逆命题: q?p；否命题: ?p??q；逆否命题: ?q??p；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“sin??sin?”是“???”的 条件.(答：充分非必要条件) 5.若p?q且q??p,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).
6.注意命题p?q的否定与它的否命题的区别: 命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q.
命题“p或q”的否定是“?p且?q”；“p且q”的否定是“?p或?q”. 如：“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则a?b是奇数” 否定是“若a和b都是偶数,则a?b是奇数”. 7.常见结论的否定形式
原结论 否定 原结论 否定
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有n?1个
小于 不小于 至多有n个 至少有n?1个
或 且 pq?p?q对所有x,成立 存在某x,不成立 p且q ?p或?q 对任何x,不成立 存在某x,成立
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二.函数
1.①映射f:A?B是：? “一对一或多对一”的对应；?集合A中的元素必有象且A中不 同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集?B).
②一一映射f:A?B： ?“一对一”的对应；?A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象. 2.函数f: A?B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?0;偶次根式被开方数非负;对数真数?0,底数?0 且?1；零指数幂的底数?0)；实际问题有意义；若 域由a?g(x)?bf(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义
解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x?[a,b]时g(x)的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：?待定系数法(已知所求函数的类型)； ?代换(配凑)法； ?方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性
?函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ?若f(x)是偶函数,那么f(x)?f(?x)?f(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0)?0)； ?判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f(x)?f(?x)?0或
f(?x)f(x)??1(f(x)?0)；
?复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如f(x)?0定义域关于原点对称即可).
?奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ?确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ?复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数y?log1(?x?2x)22的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))
8.函数图象的几种常见变换?平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对f(x)而言).?翻折变换：f(x)?|f(x)|；f(x)?f(|x|).
?对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像C1与C2的对称性,即证C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C2上,反之亦然. ③函数y?
f(x)与y?f(?x)的图像关于 y轴对称；函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图像关于直线x轴对称；
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④若函数y?f(x)对x?R时，
f(a?x)?f(a?x)或
f(x)?f(2a?x)恒成立,则y?f(x)图像关
于直线x?a对称； ⑤若y?f(x)对x?R时, ⑥函数y?f(a?x)f(a?x)?f(b?x)恒成立,则yb?a2?f(x)图像关于直线x?a?b2对称；
,y?f(b?x)的图像关于直线x?对称(由a?x?b?x确定)；
⑦函数y?f(x?a)与y?f(b?x)的图像关于直线x ⑧函数y?f(x)?a?b2对称；
?f(x)?A?f(x)2,y?A?f(x)的图像关于直线y?A2对称(由y确定)；
⑨函数y?f(x)与y??f(?x)的图像关于原点成中心对称；函数y?f(x),y?n?f(m?x) 的图像关于点( ⑩函数ym2,n2)对称；
?f?1?f(x)与函数y(x)的图像关于直线y?x对称；曲线C1：
f(y?a,x?a)?0f(x,y)?0,关于
；
y?x?a,y??x?a的对称曲线C2的方程为 曲线C1：
f(x,y)?0(或
f(?y?a,?x?a)?0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：
?f(x)f(2a?x,2b?y)?0.
9.函数的周期性：?若y ?若y ?若y ?若y ?y ?y?f?f(x)?f(x)对x?R时f(x?a)?f(x?a)恒成立,则 f(x)的周期为2|a|；
(x)是偶函数,其图像又关于直线x?a对称,则f(x)的周期为2|a|； 奇函数,其图像又关于直线x?a对称,则f(x)的周期为4|a|； 关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)的周期为2|a?a?b|；
?f(x)?f(x)的图象关于直线x对x?b?log,x?b(a?b)对称,则函数y1f(x)?f(x)的周期为2|a?b|；
R时,
bnf(x?a)??f(x)或f(x?a)???,则y?f(x)N的周期为2|a|；
?N(a?0,a?1,N?0)10.对数：?log ?loga(M loganaan(a?0,a?1,b?0,MNn?R)；?对数恒等式alogna；
?N)?logaM?logaN;loga?logaM?logaN;logaMlogbNlogba?nlogaM；
M?1nlogaM；?对数换底公式logaN?(a?0,a?1,b?0,b?1)；
推论：logab?logb (以上M
c?logca?1?logaa2?logaa3???loga12n?1an?logaan1.
?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2,?an?0且a1,a2,?an均不等于1)
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11.方程k a?f(x)有解?k?D(D为
f(x)的值域)；a?f(x)恒成立?a?[f(x)]最大值,
?f(x)恒成立?a?[f(x)]最小值.
12.恒成立问题的处理方法：?分离参数法(最值法)； ?转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：
f(x)?a(x?h)?k(a?0)2f(x)?ax?bx?c(a?0)2；②顶点式： .
； ③零点式：
f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)15.一元二次方程实根分布:先画图再研究??0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
16.复合函数：?复合函数定义域求法：若f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域可由 不等式a?g(x)?b解出；若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x?[a,b]时,求
g(x)的值域；?复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论：?定义域上的单调函数必有反函数；?奇函数的反函数 也是奇函数；?定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；?周期函数不存在反函数； ?互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；?y 反函数,设
f(x)?f(x)与y?f?1(x)互为 .
的定义域为A,值域为B,则有
f[f?1(x)]?x(x?B),
f?1[f(x)]?x(x?A)18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
f(u)?g(x)u?h(x)?0(或?0)(a?u?b)???f(a)?0?f(b)?0(或?f(a)?0)；
??f(b)?019.函数y和 直线y?ax?bcx?dac(c?0,ad?bc)的图像是双曲线：①两渐近线分别直线xdc??dc(由分母为零确定)
?b?dxcx?a?(由分子、分母中x的系数确定)；②对称中心是点(?bxax?1x?2baba,ac)；③反函数为ybaba；
20.函数y?ax?(a?0,b?0)：增区间为(??,?],[,??),减区间为[?,,0),(0,].
如函数
f(x)?在区间(?2,??)上为增函数,则实数a的取值范围是 (答：(12,??)).
三.数列 1.由Sn求an,an??S1(n?1)??*??Sn?Sn?1(n?2,n?N) 注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要
53 单独列出.如：数列{an}满足a12.等差数列{an}?an?an?1?d?4,Sn?Sn?1?an?1，求an(答：an??4(n?1)3?4n?1(n?2)).
(d为常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)
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