位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.
分析 由旋转矢量图求解。根据运动速度的方向与位移共同确定相位。 解：由于x10?A/2、v10?0可求得：?1??/4 由于x20?A/2、v20?0可求得：?2???/4 如图5-10所示，相位差：????1??2??/2
题图5-10
题图5-11
题图5-11
5-11一简谐振动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.
分析 利用旋转矢量图求解，由图中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。 解：设所求方程为x?Acos(?t??)
当t=0时：x1??5cm,v1?0由A旋转矢量图可得：?t?0?2?/3rad 当t=2s时：从x-t图中可以看出：x2?0,v2?0
据旋转矢量图可以看出， ?t?2?3?/2rad
所以，2秒内相位的改变量????t?2??t?0?3?/2?2?/3?5?/6rad 据?????t可求出：????/?t?5?/12rad/s
52于是：所求振动方程为：x?0.1cos(?t??)(SI)
1235-12 在光滑水平面上,有一作简谐振动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为K,物体的质量为m,振幅为A.当物体通过平衡位置时,有一质量为m'的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:（1）m'和m粘结后,系统的振动周期和振幅;
（2）若当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期和振幅. 分析 系统周期只与系统本身有关，由质量和劲度系数即可确定周期，而振幅则由系统能量决定，因此需要由动量守恒确定碰撞前后速度，从而由机械能守恒确定其振幅。 解:（1）设物体通过平衡位置时的速度为v,则由机械能守恒:
11KA2?mv222mv?(m?m')umu?vm?m'
v??AK m当m'竖直落在处于平衡位置m上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以
此后,系统的振幅变为A',由机械能守恒,有
11KA'2?(m?m')u222
m?m'mA'?u?AKm?m'系统振动的周期为: T?2?m?m'
K（2）当m在最大位移处m'竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为2?m?m'.
K5-13 设细圆环的质量为m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期. 分析 圆环为一刚体须应用转动定律，而其受力可考虑其质心。 解: 如图所示,转轴o在环上,角量以逆时针为正,则振动方程为
d2?J2??mgRsin? dtd2?当环作微小摆动sin???时, 2??2??0
dt解答图5-13
??mgR J?J?2mR2
?T?2???2?2R g5－14 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm．现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm，然后由静止释放并开始计时．求 (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 物体的振动方程；(3) 物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力；(4) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间．(5) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？
分析 小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条件。 解： 选平衡位置为原点，取向下为x轴正方向。 由：f?kx k? ??f?200N/m xN k/m?50?7.07rad/s
(1) 小物体受力如图． 设小物体随振动物体的加速度为a， 按牛顿第二定律有 mg?N?ma N?m(g?a)
当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体， 已知 A = 10 cm，k?200N/m,mg 题图5－14
??7.07rad/s
系统最大加速度为 amax??2A?5m?s?2 此值小于g，故小物体不会离开． (2) t?0时，x0?10cm?Acos?,解以上二式得 A?10cmv0?0??A?sin?
5 cm O x 题图5－14
??0
∴ 振动方程x?0.1cos(7.07t)(SI)
(3) 物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力 f?m(g?a) ，而a???x?2.5m?s
2?2?f?29.2N
(4) 设t1时刻物体在平衡位置，此时x?0，即 0?Acos?t1, ∵ 此时物体向上运动， v?0 ∴ ?t1??2,t1???0.222s。 2?再设t2时物体在平衡位置上方5cm处，此时x??5cm，即 ?5?Acos?t2, ∵此时物体向上运动，v?0 ?t2?2?,3t2?2??0.296s 3? ?t?t2?t1?0.074s
(5) 如使a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得
g?a???2x
x??g/?2??19.6cm
即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离，由amax??2A?g，可得 A?g/?2?19.6cm。
5-15在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0Kg的重物.现使平板沿竖直方向作上下简谐振动，周期为0.50s，振幅为2.0?10?2m，求： （1）平板到最低点时，重物对板的作用力；
（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？ （3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？ 分析 重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零。
解：重物与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标， 振动方程为：x?0.02cos(4?t??)
设平板对重物的作用力为N，于是重物在运动中所受合力为：
而af?mg?N?ma，???2x
据牛顿第三定律，重物对平板的作用力N'为：N'??N??m(g??2x) （1）在最低点处：x?A,由上式得，N'?12.96N
（2）频率不变时，设振幅变为A',在最高点处（x??A'）重物与平板间作用力最小，设
N'?0可得：A'?g/?2?0.062m
（3）振幅不变时，设频率变为?'，在最高点处（x??A'）重物与平板间作用力最小，设N'?0可得：?'??'/2??12?g/A?3.52Hz
5-16一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向轴正方向运动，求：
（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；
（2）物体从x??0.03m处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？ 分析 通过旋转矢量法确定两位置的相位从而得到最小时间。
