第五讲 数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数
用1到9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数．那么，这些数的最大公约数是多少？
回顾：
【例1】 （华罗庚金杯竞赛试题） 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。
【例2】 （实验中学入学测试题）一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条
件的5位数？
专题精讲
专题一：平方数
【例1】 志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53
人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.
【例2】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小
的数的差为60，求这三个数？
专题二：分解质因数
【例3】 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么
四位数〇△□☆是多少？
【例4】 （奥数网精选试题）已知3☆7×2□△4是891的倍数，其中☆、□、△各代表一个不同的数字，
那么三位数☆□△代表的是多少？
专题三：约数倍数
【例5】 求120、216、1001、360这3个数的约数和约束和.(考验学生心算和对部分特殊数的分解能力)
【例6】 （奥树网原创）已知A是一个有12个约数的合数，8A、10A有24个约数，12A有40个约数，
求15A，有多少个约数？
【例7】 （北京市迎春杯试题）两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于
1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？
【例8】 （北京市迎春杯试题）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能
大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
【例9】 （华罗庚金杯竞赛试题）11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？
【例10】
（人大附中入学测试题）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同
学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，??，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）
【例11】
一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为“好数”。例如，根据757－(7＋5＋
7)＝738是“好数”。在四位数20□○的方框中填入某个恰当的数字后，可以使得无论圆圈内填入0～
9中的哪个数字，该四位数都不是“好数”，那么在方框中应填写数字__________。
【例12】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这
样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？
练习五
1. （例11）对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为＂破坏数＂：把它添加到任何一个自然数
的右端，形成的新数都不能被N＋１整除。那么有多少个不大于10的破坏数？
2. （例3）如图所示的加法算式中，△盖住的都是质数数字，□盖住的都是合数数字。要使两个加数的
差尽可能小，那么较大的那个加数是多少？ △□□△1 ＋ △□△ 1□ １０１０△□
3. （例6）已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数，5A有多少个约数？
4．（例7）A、B两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是36．已知A有12个约数，B有8个约
数，那么A+B=______.。
5、（例12）把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数
为1．那么最少要分几组?
