因式分解方法总结
一、定义
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.
因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.
二、因式分解三原则
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式） 2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：?3x?x?x(?3x?1)）
2三、基本方法
（一） 提公因式法 ma?mb?mc?m(a?b?c)
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
找公因式的一般步骤：
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式.
（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶. 例如： ?am?bm?cm??m(a?b?c) a(x?y)?b(y?x)?a(x?y)?b(x?y)?(a?b)(x?y) 注意：把2a?11变成2(a?)不叫提公因式. 2432例1、 分解因式x?2x?x（2003年淮安市中考题） 解： x?2x?x?x(x?2x?1) 例2、 99?99能被100整除吗？还能被那些数整除?
3322（二） 公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把
某些多项式分解因式.
1、平方差公式： a?b?(a?b)(a?b) 2、完全平方公式：a?2ab?b?(a?b)
222223、立方和公式： a?b?(a?b)(a?ab?b) 4、立方差公式： a?b?(a?b)(a?ab?b) 5、a?b?c?2ab?2bc?2ca?(a?b?c) 6、完全立方公式：a?3ab?3ab?b?(a?b)
7、a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca) 例3、 分解因式a?4ab?4b（2003年南通市中考题） 解： a?4ab?4b?(a?2b)
例4、已知a,b,c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca，则?ABC的形状是（ ）
2222223332223223322223322332222A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解：a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca
222222?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c
（三）分组分解法
能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.
1.分组后能直接提取公因式.
例5、分解因式 am?an?bm?bn. 解： 原式=(am?an)?(bm?bn)
=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！
=(m?n)(a?b)
例6、分解因式 2ax?10ay?5by?bx
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y) 练习：分解因式（1）a?ab?ac?bc （2）xy?x?y?1 2.分组后能直接运用公式
例7、分解因式：x?y?ax?ay
解： 原式=(x?y)?(ax?ay)=(x?y)(x?y)?a(x?y)=(x?y)(x?y?a) 例8、分解因式：a?2ab?b?c
22222222解：原式=(a?2ab?b)?c =(a?b)?c=(a?b?c)(a?b?c) 练习：分解因式（1）x?x?9y?3y （2）x?y?z?2yz
2222222222（四）十字相乘法
口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 1. 二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解 特点： （1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和
例9、分解因式：x?5x?6
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5. 1 2 2解： x?5x?6=x?(2?3)x?2?3 1 3 222 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.
例10、分解因式：x?7x?6
解：原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1 =(x?1)(x?6) 1 -6 （-1）+（-6）= -7
练习、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5
22练习、分解因式(1)x?x?2 (2)y?2y?15 (3)x?10x?24
2222222. 二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c 条件：（1）a?a1a2 a1 c1
（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1 分解结果：ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2) 例11、分解因式：3x?11x?10 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：3x?11x?10=(x?2)(3x?5)
练习、分解因式（1）5x?7x?6 （2）3x?7x?2
2（3）10x?17x?3 （4）?6y?11y?10
3. 二次项系数为1的齐次多项式
2222222例12、分解因式：a?8ab?128b
分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
22 解：a?8ab?128b=a?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b)
222 =(a?8b)(a?16b)
练习、分解因式(1)x?3xy?2y (2)m?6mn?8n (3)a?ab?6b 4. 二次项系数不为1的齐次多项式
222222例9、2x?7xy?6y 例10、xy?3xy?2
1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2)
22练习、分解因式：（1）15x?7xy?4y （2）ax?6ax?8
222222思考：分解因式：abcx?(ab?c)x?abc
2222（五）换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元. 例11、分解因式 (x?x?1)(x?x?2)?12 解：令y?x?x
则原式?(y?1)(y?2)?12 ?y?3y?10 ?(y?5)(y?2) ?(x?x?5)(x?x?2) ?(x?x?5)(x?2)(x?1) 例12、分解因式（1）2005x?(2005?1)x?2005
（2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x 解：（1）设2005=a，则原式=ax?(a?1)x?a
=(ax?1)(x?a)
=(2005x?1)(x?2005)
（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘. 原式=(x?7x?6)(x?5x?6)?x
设x2?5x?6?A，则x2?7x?6?A?2x ∴原式=(A?2x)A?x=A2?2Ax?x2
2 =(A?x)=(x?6x?6)
222222222222222222练习、分解因式（1）(x?xy?y)?4xy(x?y)
（2）(x?3x?2)(4x?8x?3)?90 （3）(a?1)?(a?5)?4(a?3)
2222222222222（六）拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例13、分解因式bc(b?c)?ca(c?a)?ab(a?b) 解： 原式?bc(c?a?a?b)?ca(c?a)?ab(a?b) ?bc(c?a)?bc(a?b)?ca(c?a)?ab(a?b) ?bc(c?a)?ca(c?a)?bc(a?b)?ab(a?b)
