问题：
请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在图2，图3的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠．画图要求：
(1)图2中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形； (2)图3中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 解：(1)如图(答案不唯一)． (2)如图(答案不唯一)．
20．(本题8分)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕点A按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P. (1)求证：BM＝FN；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：由题意，得AB＝AF，∠B＝∠F，∠BAC＝∠FAE，∴∠BAM＝∠FAN. ∠BAM＝∠FAN，??
在△ABM和△AFN中，?AB＝AF，
??∠B＝∠F，∴△ABM≌△AFN(ASA)．∴BM＝FN.
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形． 理由：∵∠α＝30°，∴∠FAB＝120°.
∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠FAB＝180°，∠F＋∠FAB＝180°. ∴AF∥BP，AB∥FP.
∴四边形ABPF是平行四边形． 又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形．
21．(本题8分)如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
(1)求证：EF＝FM；
(2)当AE＝2时，求EF的长．
解：(1)证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∠DCM＝90°. ∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°. ∴F，C，M三点共线．
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°. DE＝DM，??
在△DEF和△DMF中，?∠EDF＝∠MDF，
??DF＝DF，∴△DEF≌△DMF(SAS)． ∴EF＝MF. (2)设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，AB＝BC＝6， ∴EB＝AB－AE＝6－2＝4， BM＝BC＋CM＝6＋2＝8. ∴BF＝BM－MF＝8－x.
在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB＋BF＝EF，即4＋(8－x)＝x，解得x＝5 ∴EF＝5.
22．(本题12分)问题情境：
两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE，AD＞AB. 操作发现：
(1)如图1，点D在GC上，连接AC，CF，EG，AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并
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说明理由； 实践探究：
(2)如图2，将图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？请判断，并说明理由．
解：(1)AC＝CF，AC⊥CF.理由如下：
∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE， ∴BC＝EF，∠B＝∠CEF＝90°. AB＝CE，??
在△ABC和△CEF中，?∠B＝∠CEF，
??BC＝EF，∴△ABC≌△CEF(SAS)． ∴AC＝CF，∠ACB＝∠CFE.
∵∠CFE＋∠ECF＝90°，∴∠ACB＋∠ECF＝90°.
∴∠ACF＝∠BCD＋∠ECG－(∠ACB＋∠ECF)＝90°＋90°－90°＝90°. ∴AC⊥CF.
(2)AG和GF在同一条直线上．理由如下： ∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE， ∴AD＝GC，CD＝CE，∠ADC＝∠GCE＝90°.
AD＝GC，??
在△ACD和△GEC中，?∠ADC＝∠GCE，∴△ACD≌△GEC(SAS)．
??CD＝EC，∴∠ACD＝∠GEC，AC＝GE.∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC.∴∠ACD＝∠CDE. ∴GE∥AC.
∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG∥CE. 又∵矩形CEFG中，GF∥CE， ∴AG和GF在同一条直线上．
23．(本题12分)综合实践 问题情境
在综合实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＝60°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD. 操作发现
(1)将图1中的△ABC以A为旋转中心，顺时针旋转角α(0°＜α＜60°)，得到如图2所示△ABC′，分别延长BC′和DC交于点E，发现CE＝C′E.请你证明这个结论；
(2)在问题(1)的基础上，当旋转角α等于多少时，四边形ACEC′是菱形？请你利用图3说明理由．
图1 图2 图3 解(1)证明：连接CC′. ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠AC′B＝30°，AC＝AC′.∴∠ACC′＝∠AC′C.∴∠ECC′＝∠EC′C.∴CE＝C′E.
(2)当α＝30°时，四边形ACEC′是菱形． 理由：∵∠DCA＝∠CAC′＝∠AC′B＝30°，
∴CE∥AC′，AC∥C′E.∴四边形ACEC′是平行四边形． 又∵CE＝C′E，∴四边形ACEC′是菱形．
