抽象函数单调性和奇偶性
1. 抽象函数的图像判断单调性
例1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么
f(x)在区间[?7，?3]上是( )
A. 增函数且最小值为?5 C. 减函数且最小值为?5
B. 增函数且最大值为?5 D. 减函数且最大值为?5
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。 2、抽象函数的图像求不等式的解集
例2、已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)?0，并且
y 5 O -7 -3 3 7 x -5 f(x)在(??,0)上为增函数。若(a?1)f(a)?0，则实数a的取值范
围 .
二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)=
g(x)?1,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) g(x)?1=2,g(x) 是增函数. g(m)g(n)?g(m?n)(m,n?R) . 求证： f(x)是R上的增函数.
解:设x1>x2因为，g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0。 故g(x1) > g(x2) >0。 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0，
??
22 > >0
g(x2)?1g(x1)?122 - >0。
g(x2)?1g(x1)?1
f(x1)- f(x2)= =
g(x1)?1g(x2)?122- =1--(1-)
g(x1)?1g(x2)?1g(x1)?1g(x2)?122->0。可以推出：f(x1) >f(x2)，所以f(x)是R上的增
g(x2)?1g(x1)?1函数。
例4．已知f(x)对一切x，y，满足f(0)?0，f(x?y)?f(x)?f(y)，且当（1）x?0时，0?f(x)?1；（2）f(x)在Rx?0时，f(x)?1，求证：上为减函数。
证明：且f(0)?0，令x?y?0，?对一切x，y?R有f(x?y)?f(x)?f(y)。得f(0)?1， 现设x?0，则?x?0，f(?x)?1，而f(0)?f(x)?f(?x)?1 ?f(?x)?1?1 ?0?f(x)?1，设x1，x2?R且x1?x2， f(x) 则0?f(x2?x1)?1，f(x2)?f[(x2?x1)?x1]?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1) ?f(x1)?f(x2)，即f(x)为减函数。 2.证明奇偶性
例5．已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足
f(xy)?f(x)?f(y)，求证：f(x)是偶函数。
分析：在f(xy)?f(x)?f(y)中，令x?y?1，得f(1)?f(1)?f(1)?f(1)?0 令x?y??1，得f(1)?f(?1)?f(?1)?f(?1)?0
于是f(?x)?f(?1?x)?f(?1)?f(x)?f(x)，故f(x)是偶函数。 三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组
求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例6．已知f(x)是定义在（?1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f(a?2)?f(4?a2)?0，试确定a的取值范围。 解：?f(x)是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ?f(x)在(?1，0)上是减函数，
??1?a?2?1 由?得3?a?5。 2?1?4?a?1? （1）当a?2时，f(a?2)?f(4?a2)?f(0)，不等式不成立。 （2）当3?a?2时，
f(a?2)?f(4?a2)??1?a?2?0??f(a2?4)???1?a2?4?0
?2?a?2?a?4解之得，3?a?2 （3）当2?a?5时， f(a?2)?f(4?a2)
?0?a?2?1??f(a2?4)??0?a2?4?1?a?2?a2?4?解之得，2?a?5 ，
综上所述，所求a的取值范围是(3，2)?(2，5) 四、不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。 例7．已知函数f(x)对任意x，y?R有f(x)?f(y)?2?f(x?y)，当x?0时，f(x)?2，f(3)?5，求不等式f(a2?2a?2)?3的解集。
解：设x1、x2?R且x1?x2， 则x2?x1?0， ?f(x2?x1)?2，则 f(x2?x1)?2?0，?f(x2)?f[(x2?x1)?x1]?f(x2?x1)?f(x1)?2?f(x1) ?f(x2)?f(x1)， 故f(x)为增函数， 又f(3)?f(2?1)?f(2)?f(1)?2?3f(1)?4?5
即a2?2a?2?1??1?a?3 ?f(1)?3?f(a2?2a?2)?3?f(1)， 因此不等式f(a2?2a?2)?3的解集为?a|?1?a?3?。 五、综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f。”
例8.设函数y?f(x)定义在R上，当x?0时，f(x)?1，且对任意m，n，有f(m?n)?f(m)?f(n)，当m?n时f(m)?f(n)。（1）证明f(0)?1； （2）证明：f(x)在R上是增函数；（3）设A??(x，y)|f(x2)?f(y2)?f(1)?，
B?{(x，y)|f(ax?by?c)?1，a，b，c?R，a?0}，若A?B??，求a，b，c满足的条件。
解：（1）令m?n?0得f(0)?f(0)?f(0)， ?f(0)?0或f(0)?1。 若f(0)?0，当m?0时，有f(m?0)?f(m)?f(0)，这与当m?n时，
f(m)?f(n)矛盾， ?f(0)?1。
（2）设x1?x2，则x2?x1?0，由已知得f(x2?x1)?1，因为x1?0，
f(x1)?1，若x1?0时，?x1?0，f(?x1)?1，由f(0)?f(x1)?f(?x1) ?f(x1)?1?0，f(x2)?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1)?f(x)在R上为增函数。 f(?x1)
