28．简述阿基米德的生活时代、代表著作以及在数学上的主要成就。
答：A.阿基米德（公元前287—前212）出生于西西里岛的叙拉古，早年曾在亚历山大城跟过欧几里得的门生学习，后来虽然离开了亚历山大，但仍与那里的师友保持着密切的联系，他的许多成果都是通过与亚历山大学者的通信而保存下来。 阿基米德生活在古希腊亚历山大前期，代表著作有：《论球与圆柱》，《圆的度量》，《劈锥曲面与回转椭圆体》，《论螺线》，《平面图形》，《数沙器》，《抛物线图形求积法》等，阿基米德的主要成就有：用力学方法求出球体积，抛物或弓形的面积，托球体、抛物或旋转体截体和球缺体积；用穷竭法求出圆面积和一系列曲边形面积与体积；得到 的近似值为22/7。 九、阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是什么？
阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学，但他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结。 31.简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。 答：刘徽生活在三国时代；代表著作有《九章算术注》；主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法，代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法；在几何上有割圆术及徽率。 1. 简述伽罗瓦对代数学的贡献。
答：法国数学家伽罗瓦的工作原理是在拉格朗日、高斯、柯西、阿贝尔等人的工作启发之下完成的。他在拉格朗日的基础上提出了“置换群”、“子群”、“正规子群”、“极大正规子群”等全新的数学概念。
伽罗瓦研究根的排列，实际上建立了置换群。1829-1831年，伽罗瓦发现了代数方程可用根式解的基本定律——伽罗瓦基本定律。判断根式可解的充要条件。问题转化为域，建立了子域与子群的对应关系，给出了根式可解得充要条件，开辟了代数学的新纪元。 “宋元四大家”有杨辉、秦九韶、李治、朱世杰。 “贾宪三角”，在西方文献中则称“帕斯卡三角”。秦九韶的代表著作《数书九章》。朱世杰代表著作《算学启蒙》、《四元玉鉴》。系统阐述开元术的是李治的《测圆海镜》和《益古演段》两部著作。
五、何谓“祖氏原理”，它在西方文献中称为什么原理？（P87）
祖氏原理：幂势既同，则积不容异。祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列里原理”。 1.简述非欧几何的产生。
答：研究欧几里德平行公社由来已久，19世纪进入研究的活跃时期。克里格尔对平行公理能否有其他公理推出表示怀疑。兰伯特通过替代平行公社而展开无矛盾的几何学著作《平行线理论》。高斯建立并相信一种逻辑上相容并且可以描述物质空间像欧氏几何一样正确的几何学。Ｊ. 波约（匈牙利）著《绝对空间的几何学》，给出了非欧几何。罗巴切夫斯基是俄国数学家，他1826年发表《简要论述平行线定理的一个严格证明》，1829年完成《论几何原理》；1835-1838年完成《具有完备的平行线理论的新几何原理》，1840年完成《平行理论的几何研究》，他最早发表并捍卫自己的理论，被成为罗巴切夫斯基几何，简称为罗氏几何。 2.克莱茵的爱尔朗根纲领。
答：各国数学家克莱茵于1872年在爱尔朗根大学发表的数学教授就职演说称之为“爱尔朗根纲领”。“爱尔朗根纲领”阐述里几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对某类变换群保持不变性质的学科，或者说，任何一种几何学只是研究与特定变换群有关的不变量，从而，变化群本的任意一种分类也就对应于几何学的一种分类。 1. 简述柯西与魏尔斯特拉斯对分析学严格化的贡献。
答：柯西是十九世纪前半世纪的法国著名数学家。他与1817年出版了《纯粹分析证明》一书，又于1821年和1823年分别出版了《分析教程》和《无穷小计数教程》。他特别是对变量、函数、极限、无穷小量、连续函数、导数与微分、积分和级数的研究做出了突出贡献。
威尔斯特拉斯创造了一套科学的 语言，重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，引进了一致收敛性，分析学今天的严格形式被确定。
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33.中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的“弦图”，并叙述其证明方法。
边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直
角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式
，化简得
。
第二章 古代希腊数学
一、希腊数学一般是指什么时期，活动于什么地方的数学家创造的数学？
希腊数学一般指从公元前600年一公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
二、毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条由于什么发现而受到动摇？这个“第一次数学危机”是由于什么人提出的新比例理论而暂时消除？
毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条吗，由于不可公度量的发现而受到了动摇。大约一个世纪以后，这一“危机”才由于毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯的学生欧多克斯提出新比例理论而暂时消除。
1.简述几何三大问题及历史发展。
答：用圆规和没有刻度的直尺完成作图（称为尺规作图）； （1）画圆为方：作一个与给定圆面积相等的正方形；
（2）倍立方体：求作一个正方体，使其体积等于已知正方体体积的两倍； （3）三等分角：分任意角为三等份角。
历史发展：从古代希腊开始，人们对三大问题做了不断的探索但没有解决；直到19世纪人们才能用代数学等的知识彻底解决了；彻底解决证明是不可能的，有的人不了解历史有时仍然盲目的研究它。
三、古希腊数学学派主要有哪些学派?（整章）
A.伊利亚学派 B.诡辩学派 C.雅典学院（柏拉图学派） D.亚里士多德学派 D.黄金时代—亚历山大学派
五、亚里士多德《物理学》中记载芝诺提出的四个著名的悖论是什么？（P43） A.二分法 B.阿基里斯 C.飞箭 D.运动场
六、希腊数学的“黄金时代”指的是什么时间?这时期希腊数学的中心从雅典移到何处，此处出现了哪三大数学家？
从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”（即公元前338—30年）。先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家。
30．简述运筹学的建立和发展过程。 答：运筹学是运用数学方法解决生产、国防、商业和其他领域中的安排、筹划、控制、管理等有关问题的音乐数学的分支。最早产生于二战中的英国，用以解决空防雷达信息系统与战斗机系统的协同配合问题。不久美军也开始了类似的研究，并在战争中建有奇功。目前运筹学已包括有数学规划论、博弈论、排队论、决策分析、图论等。 31．简述费马大定理的内容。
费马大定理： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解。
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27．写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。 答：一，逻辑主义学派，代表人物是罗素和怀特黑德，主要观点是：数学仅仅是逻辑的一部分，全部数学可以由逻辑推导出来。 二，形式主义学派，代表人物是希尔伯特，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。 三，直觉主义学派，代表人物是布劳维尔，主要观点是：数学不同于数学语言，数学是一种思维中的非语言的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，而不是公理和命题。 1. 简述数学史的定义及数学史课程的内容。
答： 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系。
数学史课程的功能可以概括成以下四部分:
（1） 掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识，更好的从整体上把握数学。
（2） 复习已有知识：按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。
（3） 了解新的知识：通过学习数学各学科的发展，了解没有学过的学科的内容。 （4） 受到思想教育：通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质，陶冶数学情操。 2. 简述数学内涵的历史发展。
答：数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段。 A 数学是量的科学：公元前4世纪。
B 数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学;19世纪。 C 数学研究各种量之间的关系与联系：20世纪50年代。 D 数学是作为模式的科学：20世纪80年代。 1. 简述河谷文明及其数学。
答：历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明”，因为这些国家是在河流的入海口建立的。尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明；印度河和恒河孕育了印度文明。埃及、美索不达米亚的数学产生较早，纪元前已经衰微，而印度、中国的数学崛起较晚，却延续至中世纪。 2. 简述纸草书与泥板文书中的数学。
答： 古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸存至今，被称为纸草书。莱茵德纸草书（现存于伦敦大英博物馆）中有84个数学题目；莫斯科纸草书（现存于俄国普希金精细艺术博物馆）中有25个数学题目；还有其他纸草书。 纸草书中的数学知识包括：（1）算术，包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；（2）几何，包括面积、体积计算和四棱台体积公式。
美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今，被称之为泥板文书。出土50万块其中数学文献300块。 泥板文书中的数学包括：（1）记数，包括偰形文、60制、位值原理；（2）程序化算法，包括??1.414213；(3)数表；(4)x2–px–q=0 ,x3=a,X3+X2=a (5) 几何，测量、面积、体积公式、相似形、勾股数值。代数学。 中国数学史上何时何人何种方法最先完成勾股定理证明？（P70）
中国数学史上最早完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。 1. 简述割圆术及中国古代数学家所计算的圆周率。 答：（1）割圆术的要旨：就是用圆内接正多边形去逼近圆“割之弥细，所之弥少“。用圆内接正多边形的周长与面积近似作为圆的周长与面积。
2）刘徽计算到正192边形，得到圆周率约为3.14，以分数157/50近似代替圆周率，称之为徽率。祖冲之计算的圆周率3.1415926<圆周率<3.1415927以分数22/7近似代替圆周率称之为约率，以分数355/113近似代替圆周率称之为密率，又称之为祖率。
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2. 简述“天元术”与“四元术”。答：（1）天元术：解一元高次方程的方法，“立天元为某某”“相当于设X为某某”类似为代数中的列方程法。（2）四元术：解多元高次方程组的方法，以“天”、“地”、“人”、“物”来表示四个不同的未知量，并且用固定的格式求出来。 1. 简述巴克沙拉里手稿与印度记数法。
答： 公元前2世纪至公元3世纪的时期印度人在桦树皮上记录了数学知识被自然界变迁埋在地下，1881年在巴克沙利村（今巴基斯坦西北地区）被挖掘出来从而称为巴克沙利手稿。它的主要内容是:分数 ，平方根，收支与利润的计算，比例计算，级数求和，代数方程（一次方程，二次方程），数学符号。
现在用的计数法是印度人创造的： （1）公元前2世纪至公元3世纪在巴克沙利手稿中记录了完整的十进制计数法用“.”表示零；（2）公元9世纪“.”变为椭圆即现在的“。”记录在瓜廖尔石碑中；（3）公元11世纪有零号的印度数码和十进制记数法已成熟了；（4）公元8世纪传入阿拉伯，13世纪由阿拉伯传入欧洲，阿拉伯数码的名字由此而来。 2. 简述阿拉伯的代数学。
答: 阿拉伯的数学成就首先表现在代数方面。阿拉伯数学家阿尔.花拉子米写了重要的代数著作被称为代数学之父，他的《还原与对消计算概要》一书论述了移向与合并同类项，将一元二次方程分成六种类型进行研究并给出了一般的代数解法及解法的几何证明。阿拉伯数学家奥玛.海雅姆对代数学最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程，他将求方程转化为与半圆 的支点的横坐标。
1. 简述欧洲文艺复兴时期的代数学。
答：欧洲在数学上的推进从代数学开始，人们集中研究三、四次方程尤其是三次方程。意大利数学家费罗、塔尔塔利亚各自得到了三次方程的求根公式，卡尔丹将该公式发表在他的著作《大法》中后人称为卡尔丹公式，不久费拉里找到了四次方程的解法。法国数学家韦达首先把数学符号系统化从而导致代数在性质上产生重大变革，他在《分析术引论》一书中，第一次有意识的使用字母与符号，使代数成为研究一般类型的式子与方程的学问。 2. 简述解析几何的产生。
答：法国数学家奥雷斯姆在其著作《论形态幅度》中借用“经度”“纬度”来描述所谓的图线相当于纵坐标与横坐标。法国数学家笛卡尔的《方法论》一书的附录共3个，其中之一为《几何学》，将方程与曲线对应使几何问题数学化。法国数学家费马在其《论平面与立体的轨迹引论》一书中定义了曲线提出并使用了坐标的概念。 由于数学家特别是上述三位数学家的工作使解析几何诞生了。
1.简述微积分先驱数学家的贡献。
答：微积分的天才思想在古代数学家那就已产生。古希腊数学家阿基米德，中国数学家刘徽、祖冲之父子，求面积、体积产生积分学的萌芽；古希腊及中国关于求变化率、切线产生微分学的萌芽；笛卡尔、费马创造的解析几何为微积分的创立搭设舞台。 在牛顿、莱布尼茨之前半个多世纪很多数学家都投入到微积分的研究之中，其中主要的有（一）开普勒对旋转体的体积的研究；（二）卡瓦列里对不可分原理的研究；（三）简卡尔对求切线的“圆法”的研究；（四）费马对极大与极小值的求法的研究；（五）巴罗对微分三角形的研究；（六）沃利斯对无穷算数的研究。 2.简述分析学在18世纪的新分支。 答：分析学在18世纪有3个分支：
（一）常微分方程：包括积分因子法，变易系数法。例如：微分方程，常微分方程。 （二）偏微分方程（又称数学物理方程）
这一分支有两位著名的数学家进行了研究：其中达朗贝尔研究弦的振动，得出所满足的微分方程，并求出某种形式的通解：拉普拉斯研究弦的振动，得出所满足的偏微分方程（位势方程），通常称为拉普拉斯方程。
（三）变分法：欧拉对于变分问题给出了一般的处理，得出了变分法的基本方程，常称为“欧拉方程”。
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