5
11.3.6 质量为m、半径为a的均质薄圆筒在另一个质量为M、半径为2a的均质薄圆筒内做纯滚动；后者又在水平面上做纯滚动。选大圆筒的角位移?以及两圆筒的轴构成的平面与铅垂面的夹角?为广义坐标，求作用于系统的所有力的广义力分量Q?和Q?。
解：如图所示，以水平面为重力势能的0点，系统的势能是：
V?mga(1?cos?)?2Mga
则由保守系统的广义力公式，有
Q????V?V?0， Q?????mgsin? ????11.3.7 质量为m、半径为a的均质圆柱体在另一个质量为M的木块中割出一个半径为b的半圆柱形空心槽内做纯滚动，木块又由劲度系数为k的弹簧支撑着可沿竖直导轨无摩擦运动。取木块的竖直向上的位移x和圆柱中心的角位移?为广义坐标，求作用于系统
的所有力的广义力分量。x和?的零点选在系统的平衡位置。
解：系统有两个自由度，可取木块的竖直向上的位移x和圆柱中心的角位移?为广义坐标，则
xM?x， xm?x?h?(b?a)co?s
这里h是系统平衡时木块上部半圆形的圆心到其质心的高度。系统仅受重力和弹簧弹性力的作用，属于保守系统，系统势能为
112k(x?x0)2?kx0 22这里x0是系统平衡时弹簧的压缩量，因而有(M?m)g?kx0。由保守系统的广义力公式，
V?Mgx?mgxm?有
Qx???V??Mg?mg?k(x?x0)??kx ?x?VQ?????mg(b?a)sin?
??
11.4.1长为2a、质量为M的均匀直杆AB，A端与光滑水平地面接触，在重力作用下，此杆由竖直位置释放，在铅垂面内滑倒，求杆落至地面瞬间的角速度？
解：杆做平面运动，只有一个自由度，取杆与铅垂线之间的夹角?为广义坐标，则
s xC?asin?， yC?aco?系统的动能与势能分别是：
T?11122?2asin??1?1M(2a)2??2?2Ma2??2 ?C?CM(x?y)?IC?2?Ma2?2222123V?MgyC?Mgacos?
由于地面光滑，系统仅受理想约束，应用基本形式的拉格朗日方程有：
—5—
6
d??T??T?V ?Q???????dt????????即
d?42?????3gsin? ?Ma???0?Mgsin? 或 ?4adt?3??13d???gsin?d? ????? 上式成为 d??2?24ad??2?c?3gcos?/2a 积分可得： ???0，可得c?3g/2a。这里c是积分常数，它由初始条件决定。当t?0时，??0，?这样，杆落至地面瞬间的角速度是：
??1?????/2?3g(1?cos?)/2a???/2?3g/2a
11.4.2 质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为?的倒立空心圆锥的光滑内表面上运动，以图中的r、?为广义坐标，由拉氏方程求此质点的运动微分方程？
解：系统具有两个自由度，以图中的r、?为广义坐标，则质点的直角坐标是：
x?rcos?， y?rsin? ?， z?r/tan以圆锥顶点为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是：
T?11?2) ?2?y?2?z?2csc2??r2??2)?m(rm(x22V?mgz?mgrcot?
由于圆锥的内表面光滑，系统仅受理想约束，应用基本形式的拉格朗日方程有：
d??T??T?Vd??T??T?V， ? ?Qr????Q??????????????rdt??r?rdt?????即
?2??mgcot??m?r?csc2??mr??， 或 ?d2??(mr?)?0?dt
?2sin2??gsin?cos??0?r??r??? ?2???mr??mh(常数)11.4.3 用一根轻弹簧把质量为m的小球悬挂在固定点O，任其在铅直平面内摆动。已知弹簧原长为a、劲度系数为k，用拉氏方程求此系统的运动微分方程？
解：小球做平面运动，具有两个自由度，以弹簧长度即摆长l和摆线与铅直线的夹角?为广义坐标，则小球的直角坐标是：x?lsin?，y?lcos?。以弹簧的悬挂点为重力势
—6—
7
能的0点，以弹簧的原长为弹性势能的0点，则系统的动能与势能分别是：
11?2)， ?2?y?2)?m(l?2?l2?m(x22112??k(l?a)2 V??mgy?k(l?a)??mglcos221?22?21?l?)?mglcos??k(l?a)2 系统的拉格朗日函数是： L?T?V?m(l22T?由于系统仅受理想约束，应用保守系统的拉格朗日方程有：
d??L??Ld??L??L?0， ????0 ?????dt??l??ldt??????即
?2?mgcos??k(l?a)?0?m?l??ml??， 或 ?d2??(ml?)?mglsin??0?dt
k????2s?(l?a)?0?l?l??gco? m??l???????0??2l??gsin11.4.4 质量为m、半径为R的中空的圆环通过光滑铰链铰接在固定轴A上，环管内
有一质量为m的质点P，可在管内无摩擦的滑动。写出圆环和质点组成的力学系统的拉格朗日函数，并由拉氏函数写出运动第一积分。
解：系统做平面运动，具有两个自由度，以图中的角?和?为广义坐标，则有：
xC?Rsin?， yC?Rcos?，
xP?Rsin??Rsin(???)， yP?Rcos??Rcos(???)
以圆环的悬挂点为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是：
T?1122?P?Pm(x?y)?IA??22211?)2?2??(?????)cos?]??2mR2??2 ?mR2[??2?(????22?2/2???2(2?cos?)?????(1?cos?)]?mR2[?V??mgyC?mgyP??mgR[2cos??cos(???)]
系统的拉格朗日函数是：
L?T?V?2(2?cos?)?????2/2???(1?cos?)]?mgR?mR2[?[2cos??cos(???)]由于L中不显含时间因子t，系统所受为定常约束，系统的机械能守恒，即
—7—
8
?2(2?cos?)?????2/2???(1?cos?)]T?V?mR2[??mgR[2cos??cos(???)]?常数
11.4.5 质量为M、半径为R的薄球壳，其外表面粗糙，内表面光滑，放在粗糙的水平面上。在球壳内放一质量为m，长为2Rsin?的均匀棒。设此系统从静止开始运动，且在开始的瞬间，棒位于通过球心的竖直平面内，两端都与球壳相接触，并与水平线成?角。用拉格朗日方程证明：在以后的运动中，棒与水平线的夹角?满足关系：
?2[(5M?3m)(2cos2??1)?9mcos2?cos2?]R?
?6g(5M?3m)cos?(cos??cos?)证明：系统有两个自由度，可取球心的水平坐标x与角?为广义坐标。则
xC?x?Rcos?sin?， yC?R(1?co?sco?s)
以水平面为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是：
??11?x11?222?2?IO???m(x?C?CT?Mx?y)?IC?22?R?2211?)2?(Rcos?sin???)2]?1?1m(2Rsin?)2??2 ?2?m[(x??Rcos?cos???Mx222121?5Mm?2?1??2?cos?cos???mR2?cos2??sin2?????????x?mRx2?6?6?2?2V?MgyO?mgyC?MgR?mgR(1?cos?cos?)
系统的拉格朗日函数是：
1?5Mm?2?1??2?cos?cos???mR2?cos2??sin2?????L?T?V????x?mRx 2?6?6?2??MgR?mgR(1?cos?cos?)由于L中不显含坐标x，x是循环坐标，存在循环积分：
?L5M?3m?cos?cos??C ① ??mR??x1??x3又因L中不显含时间因子t，系统所受为定常约束，系统的机械能守恒，
1?5Mm?2?1??2?cos?cos???mR2?cos2??sin2?????T?V????x?mRx 2?6?6?2??MgR?mgR(1?cos?cos?)?E??0，???0，???，可以求得 当t?0时，x —8—
