RZ(τ )
1 2 -1 +1 τ
－ RZ(τ
1 2) 的波形
(3)由z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)可以看出：z(t)是由m(t)和
cos(ω0t＋θ)在时域上的相乘结果，则在频域上有： Pz(ω)＝Pm(ω) *Pc(ω) ，其中Pm(ω)是m(t)的频谱 Pc(ω)是cos(ω0t＋θ)的频谱 又因为 Pm(ω)＝
δ(???0)?δ(???)] Pc(ω)＝[012122?12?()() ＝2sa42sa2
∴Pz(ω)＝Pm(ω) *Pc(ω)
112?()[δ(???0)?δ(???)] *sa02221?2???02???0?()?()? ＝?sasa4?22??? ＝
S＝RZ(0)＝Rm(0)cos0＝
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12122-7.将一个均值为零、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc、带宽为B的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。
∣H(ω)∣ 2πB 2πB
－ωc 0 ωc 图
P2-1
(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数； (2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。
解： (1)先求出频域上的输出噪声功率：
2n0 P0?????H?
2?n0???B??????B?c ??2, c
其它??0,??再求时域上的自相关函数，实际上就是频域P0???的傅里叶逆变换：
1 R0????2??????P0???ej???d?
1??c??B1?c??Bj??j???????P?e?d??P?e?d? 00??????B???Bc2?2?c1??c??Bn0j??1?c??Bn0j???e?d??e?d? 2????c??B22???c??B2?c??Bn0??c??Bj???[?e?d???ej???d?]
?c??B4???c??B??c??B?c??Bn?0[?ej???d???ej???d?]
?c??B4???c??B?n0BSa??B??cos?c?
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(2)高斯过程通过线性系统时仍然是一个高斯过程，即输出噪声的一维概率密度函数也是一个高斯过程，
又∵a?E??o(t)???i?H?0??0 其中?o?t?是表示输出噪声的时域表达式，?i是表示输入噪声的均值
同时?2?R0?0??E2??o(t)??n0BSa?0?cos0?n0B ∴输出噪声的一维概率密度函数为： f?x????x2?1?exp? ??2nB2?n0B?0?
2-10. 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证： (1)自相关函数
?/Tb , ??Tb?1?τ R?(?)??
0 , ??Tb??
(2)功率谱密度Pξ(ω)＝Tb[Sa(πf Tb)]2 。
解：(1) R?(?)?R??t,t????E???t????t????，实际上就是求在时间t和t+τ时，??t????t???的乘积的均值。
当??Tb时，??t?和??t???的取值互相独立，如图(a)所示
A Tb Tb Tb Tb
t t+τ t
图(a)
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于是有： R?(?)?E???t????t???? ?E???t???E???t????
???? ??1????1?????1????1???
22??22?? ?0
当??Tb时，??t?和??t???的取值有两种情况：
第一种情况：??t?和??t???都在同一个Tb范围内，也就是说??t?和
T????t???的取值相同，这种情况的概率是b如图(b)所示
1111Tb A Tb Tb Tb Tb t t+τ t 图(b) 设此时的自相关函数为R?1(?),则有 R?1(?)?E???t????t????
11?Tb??? ???1???1?????1????1????
22T??bTb???
Tb第二种情况：??t?和??t???不在同一个Tb范围内，也就是说??t?和??t???的取值分别是两个相邻的码元，这时??t?和??t???是相互独立的，如图(c)所示
A Tb Tb Tb Tb t t+τ t 图(c) 8
