专题十二 圆中的多解问题
一、知识要点
1、圆是一种“完美”的图形，它既是轴对称图形又是中心对称图形，更具有旋转不变性。由圆的对称性引出的性质和定理在计算圆心角、圆周角、弦、弦心距、切线等知识时要结合图形考虑多解问题；
2、 点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系是多解问题的重点； 3、和圆有关的动态问题要考虑多解。
二、例题精选
例1：（1）一条弦分圆周为9：11，这条弦所对的圆周角的度数是 ； （2）半径为5的圆中有一条长为53的弦，这条弦所对的圆周角等于 度； （3）⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB与CD之间的距离是 ； （4）半径为1的圆中，弦AB，AC的长分别是2，3，则∠BAC等于 度； （5）在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8㎝，最短距离为2㎝，则⊙O的半径为 ； （6）圆内有一点P，过P的最短弦长4cm，最长弦长15cm，过P有 条整数弦； （7）半径为25和39的两圆相交，公共弦长30，则两圆的圆心距是 。
例2：已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，点C是优弧AMB上一点，且AB2?OB2?BC2.求∠OAC度数。
解题思路：由于点C的位置没有确定，在画出一个点的位置时；要考虑第二个点C的位置。所以∠OAC的度数是15或75。
例3：已知⊙0的直径AB=10，弦CD中的点C到AB的距离为3，点D到AB的距离离为4，则圆心O到弦CD的距离=_________。
解题思路：由于弦CD的位置不确定，所以有如图（1）和（2）两种情况， 过点O作OH⊥CD垂足为H，连接OC、OD，由垂径定理可知，CH=DH。
(1)图 9(2)ACBEOFACEHOFBAHc1DD0
0
1
（1）点C、点D在直径AB的同侧，
在Rt?ODF中，OF?OD2?DF2?52?42?3 在RT?OCE中，OE?OC2?CE2?52?32?4， 过点H作HG?AB于G，∴EG?FG，∴HG?在Rt?OHG中OH?CED?F2OG?FG?OF?0.5，?53.，
OG2?HG2?52。 2（2）点C、点D在直径AB的两侧时，
求得OF?3，OE?4，EF?7，不难得到?CEM∽?DFM，由CE?3,DF=4, ∴
EM?3, MF=4，∴OM?1?DE?42
又因为?MHO∽?MFD，
OMOH11OH?2。 ? ∴OH?DEDF4224综上所述圆心O到弦CD的距离为
512或2。 22例4：如图，点A、B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm
的速度自左向右运动，运动时间为t（秒）（t≥0）
（1）试写出圆心A、B之间的距离d（cm）与时间t（秒）之间的函数表达式
（2）若圆心A运动的同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的
关系为r=1+t （t≥0），问点A出发多少秒时，两圆相切？
解题思路：（1）d只受AB位置的影响，所以得AB两种不同的位置关系，逐一解决 M A B_ N ?11??11?2t0?t?????2??解：（略） d??
11???2t?11?t???2???（2）明确对象：圆与圆的位置关系； 确定关键元素：圆心距和两圆半径
确定位置关系：相切分为内切和外切，又由于AB位置的变化，故有四种不同的情况，即：由左至右分别是外切、内切、内切、外切，逐一求解
2
解：（略）3秒（外切）、13（外切）秒，
0
11秒（内切）、11秒（内切） 3例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆。设点Q运动时间为t(s)。
（1） 当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由； （2） 已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙Q相切，求t的值。
A
O Q B
解题思路：（1）证明直线与圆的位置关系，只要得出圆心到直线的距离等于圆的半径即可，既直线AB与⊙P相切；
（2）因为点P在⊙O的内部，所以只要考虑两圆内切就可以了。t =1或4 三、能力训练
1、圆的弦长确好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是 度。
2、圆的半径等于2，圆内一条弦长23 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离为 。
3、△ABC内接于⊙0，∠AOB=100，则∠ACB=______度。
4、PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=50，则∠ABC=___________度
0
0
0
C P 5、AB，AC是⊙0的两条弦，且∠BAC=48，M，N分别是AB，AC的中点，则∠MON= 度。 6、两圆相切，圆心距是10㎝，其中一圆的半径为4㎝，则另一圆的半径是 。 7、⊙01的半径为2cm，⊙02的半径为5cm，两圆没有公共点，则两圆的圆心距的取值范围为________。
8、已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）A.相交
B. 相切 C. 相离
D. 相交、相切、相离都有可能
3
9、已知：在⊙O中，半径为5，圆内一点A，OA=2，直线l⊥直线OA于点B，且AB=3，则直线l与⊙O的关系是（ ） A.相交
B. 相切 C. 相离
D. 相交或相切
10、半径为1cm和2cm两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
11．如图3，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O 上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A 图3 O B 12、已知圆O的直径AB=10cm，CD为圆O的弦，且点C，D到AB的距离分别为3cm和4cm，则满足上述条件的CD共有（ ）
A.8条 B.12条 C.16条 D.以上都不对
四、思维拓展
13、平面上有三个点，则可以确定几个圆？有四个点呢？有五个点呢？若有n个点，则最多可以确定几个圆？
14、已知圆内接三角形ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。
15、已知⊙O的半径为1，以O为原点建立直角坐标系，直线y=x-5经过怎样平移，与圆相切
0
16. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，且∠AOC=30，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。
B O C P A
4
Q
