③当11≥e，即0?a≤2时，函数f(x)在[1,e]上单调递减， ae所以函数f(x)的最小值为f(e)?124ae?1?1，得a?2，舍去． 2e综上所述，a?2． ……………13分
19. （本小题满分14分）
?c3=??2解：（Ⅰ）由题意得?a，解得a=2，b?1． ?1?3?1??a24b2x2 所以椭圆C的方程是?y2?1． …………… 4分
4 （Ⅱ）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点.
?y?k(x?1)?2222(1?4k)x?8kx?4k?4?0． 由?x2得2??y?1?48k24k2?4 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1?x2?，x1x2?．
1?4k21?4k2 又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M(2,0)．
由题意可知直线AM的方程为y?y12y1(x?2)，故点P(0,?)． x1?2x1?2直线BM的方程为y?y22y2(x?2)，故点Q(0,?)． x2?2x2?2???????? 若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N(x0,0)，则等价于PN?QN?0恒成
立．
????????2y12y2)，QN?(x0,)， 又因为PN?(x0,x1?2x2?2????????2y12y24y1y22??x02??0恒成立． 所以PN?QN?x0?x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)又因为(x1?2)(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4
4k2?48k2 ??2?4
1?4k21?4k24k2 ?， 21?4ky1y2?k(x1?1)k(x2?1)?k2[x1x2?(x1?x2)?1]
4k2?48k2?k(??1)
1?4k21?4k22?3k2， ?21?4k?12k224y1y22221?4k所以x0??x0??x?3?0． 024k(x1?2)(x2?2)1?4k2解得x0??3．
故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(?3,0)． …………… 14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.
所以f(5,3)?4. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d?N.
?a10?a1?9d，d?a10?a1100?1≤?11，d的可能取值为1,2,?,11． 99对于给定的d，a1?a10?9d≤100?9d， 当a1分别取1,2,3,?,100?9d时，可得递增等差数列100?9d个（如：d?1时，a1≤91，当a1分别取1,2,3,?,91时，可得递增等差数列91个：1,2,3,?,11；2,3,4,?,12；?；91,92,93,?,100，其它同理）. 所以当d取1,2,?,11时，可得符合要求的等差数列的个数为：
f(100,10)?100?11?9?(1?2???11)?1100?9?66?506．…………… 8分
（Ⅲ）设等差数列首项为a1，公差为d，
am?a1?(m?1)d，d?am?a1n?1， ≤m?1m?1记
n?1n?1n?1n?mn?1的整数部分是t，则，即． ?1?t≤?t≤m?1m?1m?1m?1m?1d的可能取值为1,2,?,t，
对于给定的d，a1?am?(m?1)d≤n?(m?1)d，当a1分别取1,2,3,?,n?(m?1)d时，可得递增等差数列n?(m?1)d个.
所以当d取1,2,?,t时，得符合要求的等差数列的个数
f(n,m)?nt?(m?1)?t(t?1)m?122n?m?1??t?t 222m?12n?m?12(2n?m?1)2??(t?)?
22(m?1)8(m?1)易证
n?m2n?m?1n?1． ?≤m?12(m?1)m?1n?m2n?m?1m?12n?m?1n?1m?3，|， ?|??|?m?12(m?1)2(m?1)2(m?1)m?12(m?1)n?m2n?m?12n?m?1n?1?|?|?|． m?12(m?1)2(m?1)m?1又因为|所以|所以f(n,m)?nt?(m?1)?t(t?1) 2n?mn?m(?1)n?m(n?m)(n?1)m?1m?1． ?n??(m?1)??m?122(m?1)即f(n,m)?
(n?m)(n?1)． …………… 13分
2(m?1)
