北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学答案（理工类） 2014.3
一、选择题 题号 答案 二、填空题 题号 答案 三、解答题
15. （本小题满分13分） 解： f(x)?sin2x?cos2x
9 10 2 11 12 13 14 1 B 2 A 3 B 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D 30 1 32+3 2 5 72 2 ??2sin(2x?).
4（Ⅰ）f()??2??22sin(2??)?2??1.
242显然，函数f(x)的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令2kπ?ππ3π≤2x?≤2kπ?得 24237kπ?π≤x≤kπ?π，k?Z.
88?3π7π?,?. 88???3π7π?,?． …………… 13分 ?88?又因为x??0,π?，所以x??函数f(x)在?0,π?上的单调减区间为?16. （本小题满分13分）
解：（I）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6?a)人． 则P(A)?6?a2?． 205解得 a?2．
所以b?4． …………… 4分
（II）设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．
2C1262则P(B)?1?P(B)?1?2?． …………… 7分
C2095（III）?的可能取值为0，1，2．
20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．
2C1233所以P(??0)?2?，
C209511C12C848P(??1)?2?，
C2095C8214P(??2)?2?．
C2095所以?的分布列为
所以，E??0?? P 0 1 2 33 9548 9514 95483314764??． …………… 13分 ?1??2?95959595517. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接FG，AG.
因为F，G分别是PC，PD的中点， 所以FG是△PCD的中位线. 所以FG∥CD，且FG?F G P 1CD． 2A E B
C
D
又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形，
所以AE?11AB?CD，且AE∥CD. 22 所以AE∥FG，且AE?FG． 所以四边形AEFG是平行四边形． 所以EF∥AG．
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
所以EF?平面PAD． ……………4分 （Ⅱ）证明： 因为平面PAD?平面ABCD，
且平面PAD?平面ABCD?AD，PA?AD，
所以PA?平面ABCD． 所以PA?AB，PA?AD．
又因为ABCD为正方形，所以AB?AD， 所以AB,AD,AP两两垂直.
A 以点A为原点，分别以AB, AD, AP为x, y, z轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB?AD?AP， 设AB?AD?AP?2，则
B xE C D yF zP A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2),E(1,0,0),F(1,1,1)． ????????????因为EF?(0,11)2，?2)，CD?(?2，0，0)， ，，PD?(0，且EF?PD?(0,11)，?(0,2,?2)?0，EF?CD?(0,11)，?(?2,0，0)?0
所以EF?PD，EF?CD．
又因为PD，CD相交于D，所以EF?平面PCD． …………… 9分
????????????????????????（Ⅲ）易得EP?(?1，0，2)，PD?(0,2,?2)．
设平面EPD的法向量为n?(x, y, z)，则
??????n?EP?0, ???? ???n?PD?0.??x?2z?0,?x?2z, 所以 ?即?2y?2z?0. y?z. ?? 令z?1，则n?(2,1,1)．
????由（Ⅱ）可知平面PCD的法向量是EF?(0,11)，，
????????n?EF23cos?n,EF???????? . 所以
32?6n?EF由图可知，二面角E?PD?C的大小为锐角， 所以二面角E?PD?C的余弦值为18. （本小题满分13分）
3． ……………14分 31ax2?1解：函数f(x)的定义域是(0,??)， f?(x)?ax??．
xx（Ⅰ）（1）当a?0时，f?(x)??1?0，故函数f(x)在(0,??)上单调递减． x（2）当a?0时，f?(x)?0恒成立，所以函数f(x)在(0,??)上单调递减．
（3）当a?0时，令f?(x)?0，又因为x?0，解得x?1． a①当x?(0,11)时，f?(x)?0，所以函数f(x)在(0,)单调递减． aa11,??)时，f?(x)?0，所以函数f(x)在(,??)单调递增． aa②当x?(综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调减区间是(0,??)，
当a?0时，函数f(x)的单调减区间是(0,11)，单调增区间为(,??)．…7分 aa（Ⅱ）（1）当a?0时，由（Ⅰ）可知，f(x)在[1,e]上单调递减，
所以f(x)的最小值为f(e)?（2）当a?0时，由（Ⅰ）可知，
①当124ae?1?1，解得a?2?0，舍去． 2e1≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,e]上单调递增， a所以函数f(x)的最小值为f(1)?1a?1，解得a?2． 2②当1?111?e，即2?a?1时，函数f(x)在(1,)上单调递减， aae1111,e)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f()??lna?1， aa22在(解得a?e，舍去．
