北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试（理工类）
2014．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项． （1）复数z?i(2+i)在复平面内对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）已知集合A?{x|()x?1}，集合B?{x|lgx?0}，则A?B?
（A）{x|x?0} （B）{x|x?1} （C） {x|x?1}?{x|x?0} （D） ? （3）已知平面向量a，b满足a?b?2，(a+2b)?(a?b)=?2，则a与b的夹角为
（A）
12?????? （B） （C） （D） 6336（4）如图，设区域D?{(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1}，向区域D内
随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域M?{(x,y)0≤x≤1,0≤y≤x3}的概率为
y1y=x311 （B）
3422（C） （D）
57π（5）在△ABC中，A?，BC?2，则“AC?3”
4π是“B?”的
3（A）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）执行如图所示的程序框图,输出的S值为
（A）2 （C）4
（B）?2 （D）?4
O开始 i=1,S=10 1xi=i+1 S=S?2 ii<4？ 是 否 输出S 结束 （第6题图）
（7）已知函数f(x)?sinx．下列命题： x2?1①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)是周期函数； ③当x??1时,函数f(x)取最大值；④函数f(x)的图象与函数y?的图象没有公共2x点，其中正确命题的序号是
??????????????N?3OMON?（8）直线y?x?m与圆x+y=16交于不同的两点M，N，且M，
22（A） ①③ （B）②③ （C） ①④ （D）②④
其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是
（A） ?22,?2???2,22 （B）?42,?22???22,42
????????（C） [?2,2] （D） [?22,22]
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）在各项均为正数的等比数列?an?中，a1?2，a2?a3?12，则该数列的前4项和
为 ．
（10）在极坐标系中，A为曲线??2cos?上的点，B为曲线?cos??4上的点，则线段
AB长度的最小值是 ．
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积
为 ；表面积为 ．
1 1 正视图
1 1 侧视图
2俯视图
y2（12）双曲线x?2?1(b?0)的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b? ；
b此双曲线的离心率为 ．
（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的
蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 （如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数 为 ．（用数字作答）
（14）如图，在四棱锥S?ABCD中，SB?底面ABCD．底面ABCD为梯形，AB?AD，AB∥CD,AB?1,AD?3，
SCD?2．若点E是线段AD上的动点，则满足?SEC?90?的点E的个数是 ．
CBAED三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?2sin(??x)?cosx?sinx?cosx，x?R． （Ⅰ）求f()的值及函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在?0,π?上的单调减区间．
（16）（本小题满分13分）
某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
逻辑思维 能力 22?2运动 协调能力 一般 良好 优秀 一般 良好 优秀 2 4 1 2 1 1 b 3 a 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
2． 5（I）求a，b的值；
（II）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思
维能力优秀的学生的概率；
（III）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
生人数为?，求随机变量?的分布列及其数学期望E?．
（17）（本小题满分14分）
如图，四棱锥P?ABCD的底面为正方形，侧面PAD?底面ABCD．△PAD为等腰直角三角形，且PA?AD． E，F分别为底边
P AB和侧棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：EF?平面PCD； （Ⅲ）求二面角E?PD?C的余弦值．
（18）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?A E B
C
D
F
12ax?lnx，a?R． 2（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间[1,e]的最小值为1，求a的值．
（19）（本小题满分14分）
x2y233)，离心率为已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点(1,． 22ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y?k(x?1)(k?0)与椭圆C交于A,B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线
AM与直线BM分别与y轴交于点P,Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上
的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
（20）（本小题满分13分）
从1,2,3,?,n中这n个数中取m（m,n?N，3?m?n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f(n,m)．
（Ⅰ）当n?5,m?3时，写出所有可能的递增等差数列及f(5,3)的值； （Ⅱ）求f(100,10)；
?（Ⅲ）求证：f(n,m)?(n?m)(n?1)．
2(m?1)
