令y=0,则 解得x1=8,x2=-2, ∴点B的坐标为(-2,0), 由已知可得, 在Rt△ABO中 AB2=BO2+AO2=22+42=20, 在Rt△AOC中 AC2=AO2+CO2=42+82=80, 又∴BC=OB+OC=2+8=10, ∴在△ABC中 AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵A(0,4),C(8,0), AC=
=4
,
,0)或
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0), ②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( (
,0)
③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、(
,0)、(3,0)、
,0)
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
和点
，过点 作
交 轴于点 ，交 轴于点
轴交抛物线于点 ．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点 是抛物线上一点，且点 关于 轴的对称点在直线 上，求
的面积；
（3）若点 是直线 下方的抛物线上一动点，当点 运动到某一位置时，
的最大面积．
交 轴于点 ，交 轴于点
的面积
最大，求出此时点 的坐标和 【答案】 （1）解： 和点
，
，得 抛物线
，
交 轴于点 ，
此抛物线的表达式是
（2）解：
抛物线
，
点 的坐标为
轴，点 是抛物线上一点，且点 关于 轴的对称点在直线 上， 点 的纵坐标是5，点 到 的距离是10， 当
时，
点 的坐标为
， 的面积是：
，如图所示，
，
，得
或
，
（3）解：设点 的坐标为
设过点
，点 ，得
即直线 的函数解析式为 当
时， ， 的面积是：
点 是直线 下方的抛物线上一动点，
，
当
时， 取得最大值，此时
，点 的坐标是
，
， ，
，
的直线 的函数解析式为 ，
，
，
即点 的坐标是 ， 时， 的面积最大，此时 的面积是
．
【解析】【分析】（1）根据题意可以求得 、 的值，从而可以求得抛物线的表达式；（2）根据题意可以求得
的长和点 到
的距离，从而可以求得
的面积；（3） 的面积，然后根据二
根据题意可以求得直线 的函数解析式，再根据题意可以求得 次函数的性质即可解答本题
