2．圆的参数方程
[对应学生用书P17]
圆的参数方程
(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原??x＝rcosωt的圆的参数方程为?
??y＝rsinωtxryr点O，半径为r
(t为参数)．其中参数t的物理意义是：
质点做匀速圆周运动的时间．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为
?x＝rcos θ????y＝rsin θ
(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
??x＝x0＋Rcos θ
(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为?
?y＝y0＋Rsin θ?
(0≤θ＜
2π)．
[对应学生用书P17]
[例1] 圆(x－r)＋y＝r(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．
[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，
2
2
2
求圆的参数方程 设圆心为O′，连O′M，∵O′为圆心， ∴∠MO′x＝2φ.
??x＝r＋rcos 2φ，∴?
?y＝rsin 2φ.?
(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把
??x＝r＋rcos φ，参数方程写成?
??y＝rsin φ.
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
1．已知圆的方程为x＋y＝2x，写出它的参数方程． 解：x＋y＝2x的标准方程为(x－1)＋y＝1， 设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
??x＝1＋cos θ，
参数方程为?
?y＝sin θ?
2
2
2
2
2
2
(0≤θ＜2π)．
??x＝cos θ
2．已知点P(2,0)，点Q是圆?
?y＝sin θ?
上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明
轨迹是什么曲线．
解：设中点M(x，y)．则 2＋cos θ
x＝，??2?0＋sin θ??y＝2，
1
x＝1＋cos θ，??2即?1
y＝??2sin θ，
(θ为参数)
这就是所求的轨迹方程．
1
它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.
2
[例2] 若x，y满足(x－1)＋(y＋2)＝4，求2x＋y的最值．
[思路点拨] (x－1)＋(y＋2)＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．
[解] 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
2
22
2
圆的参数方程的应用 x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，
故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x＋y≤25.
即2x＋y的最大值为25，最小值为－25.
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．
3．已知圆C?
??x＝cos θ，??y＝－1＋sin θ?x＝cos θ，?
解：法一：∵?
2
2
??y＝－1＋sin θ
与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
消去θ，
得x＋(y＋1)＝1.
∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1. |0－1＋a|
∴圆心到直线的距离d＝≤1.
2解得1－2≤a≤1＋2.
法二：将圆C的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
π
即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋)．
4π
∵－1≤sin(θ＋)≤1，∴1－2≤a≤1＋2.
4
[对应学生用书P19]
一、选择题
??x＝2＋2cos θ，
1．圆的参数方程为：?
??y＝2sin θ
2
(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2) C．(－2,0) 解析：将?答案：D
??x＝2cos θ，
2．直线：x＋y＝1与曲线?
?y＝2sin θ?
?x＝2＋2cos θ，?
??y＝2sin θ
B．(0，－2) D．(2,0)
化为(x－2)＋y＝4，其圆心坐标为(2,0)．
2
(θ为参数)的公共点有( )
A．0个 C．2个
??x＝2cos θ，
解析：将?
??y＝2sin θ
B．1个 D．3个
化为x＋y＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由
22
于
1
2
＝<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点． 22答案：C
??x＝2cos θ
3．直线：3x－4y－9＝0与圆：?
??y＝2sin θ
，(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 C．直线过圆心
B．相离
D．相交但直线不过圆心
9
解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝<2，
5故选D.
