衡南六中数学联赛练习题
一、选择题
1.（2012浙江杭州3分）已知关于x，y的方程组??x+3y=4?a?x?y=3a，其中﹣3≤a≤1，给出下列
?x=5结论：①?是方程组的解 ②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方
y=?1?程组的解也是方程x+y=4﹣a的解； ④若x≤1，则1≤y≤4．
其中正确的是【 】 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】
A． B．
C． D．
3. （2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】
A．90 B．100 C．110 D．121
4. （2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
A．
1 B．3 C． 2 D．3＋1
5. （2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从
点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】A.一直增大 B.一直减小C.先减小后增大 D.先增大后减小 二、填空题
1. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 ．
2. （2012浙江湖州4分）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若
mn?4725，则△ABC的边长是
3. （2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①③AF=
23AGAB?FGFB；②点F是GE的中点；
AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ．
4. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°． (1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 ； (2)若射线EF经过点C，则AE的长是 ．
（4题）（6题）（7题）5. （2012
浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）． 6. （2012浙江温州5分）如图，已知动点A在函数y=4x，…
(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，
AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 _. 7. （2012浙江义乌4分）如图，已知点A（0，2）、B（
，2）、C（0，4），过点C向
右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是
8. （2012浙江嘉兴、舟山12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，3]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；
（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．
9. （2012浙江丽水、金华12分）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝
，AC与y轴交于点E．
【来源：全品…中&高*考+网】(1)求AC所在直线的函数解析式；(2)过点
O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点
P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？
若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10. （2012浙江宁波10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，
ABCD中，若AB=1，BC=2，则
ABCD为1阶准菱形．
（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形； ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把
ABCD沿BE折叠（点E在AD上），
使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．
（2）操作、探究与计算：①已知?ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出②已知
ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出
ABCD是几
阶准菱形．
12. （2012浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排x件产品运往A地。
（1）当n?200时， ①根据信息填表：
产品件数（件） 运费（元）
A地
x
B地
C地
2x
合计 200
30x
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为5800元，求n的最小值。
