----------------------- 8三明学院第二学期《高等数学》（下）期末考试卷 闭卷
参考答案及评分标准
（使用班级：四课时）考试时间：120分钟
题号 得分 阅卷人 名 一 二 三 四 五 六 七 总分 ----线----------------封---------------------密------------------------- -复核人 一 选择题(每小题3分，共21分)
1微分方程y???4y??4y?0 的通解为 （ D ）
A y?Cx1?C2e2 B y?C1?C2xe2x C y?C1x?C2e2x D y?(C1?C2x)e2x 2 下列微分方程中，不是齐次方程的是（ C ） xxA (1?2ey)dx?2ey(1?xy)dy?0 B (2xsinyx?3ycosyx)dx?3xcosyxdy?0
C (x2?2x?2y?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy?0 D y/?xy?yx 3. 求极限lim(x2?y2)2x?01?cos(x2?y2（ C ）
y?0)A 0 B 1 C 2 D 不存在
4曲线??2y2?3z2?2绕直线 旋转所成的曲面方程为?x?0( A )
A 2(x2?y2)?3z2?2 B 2y2?3(x2?z2)?2 C 2x2?3(z2?y2)?2 D 3(x2?y2)?2z2?2 6. 下列级数中绝对收敛的级数是( C )
?n?A
???1?n??1?nn?1n?1 B
????1?n???1?n?13n2?1 C
?n?2n3?1 D
?n?1n?1
7根据二重积分性质，设D是由x轴、y轴及直线x?y?12，x?y?1围成。比较两积分共 4 页第 1页
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级别 专业 班级 学号 姓的大小，
???x?y?dxdy（ A ）??ln(x?y)dxdy
DDA 大于 B 大于或等于 C 小于 D 小于或等于 二、(每小题3分，共21分)填空题.
1. 曲面x?4y?16z?64与坐标面yoz的交线
222?4y2?16z2?64 ?x?0?2. 设函数z?
y
，求x?2,y?1,?x?0.1,?y??0.2时的全微分dz?x
?0.125
3. 设u?xy?yz2?zx3，则grad(2u)= grad(2u)?(2y?6zx2)dx?(2x?2z2)dy?(4yz?2x3)dz
4. 求级数的和，
?n?1???1?n?12n?1=
2 31，收敛域为211[?,] 22f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx
21225. 幂级数
?n?1??2x?nn的收敛半径
6 改变积分次序，
?dx?122xf(x,y)dy= ?21dy?y217平面x?yz??1被三坐标面所割出的有限部分的面积为237 8三、将函数ln(1?x)?ex展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间. （8分）
?(?1)nn?1(?1)nn解：ln(1?x)??x?x?xn?1n?1n?0n?0?(?1?x?1) …………. （3分）
e??x1nxn!n?0??(???x??) …………. （6分）
(?1)nn?1n?11原式=x?x??x??[(?1)nx?]xnn?1n!n?0n?1n?0n!n?0四、计算 1计算二重积分解：原式=
(?1?x?1) ………. （8分）
??(xDsinx02（10分）. ?y2)d?，其中D?{(x,y)0?y?sinx,0?x??}。
22??0dx?(x?y)dy??22?01(xy?y3)32sinx01dx??(x2sinx?sin3x)dx（3分）
03???0xsinxdx???xdcosx???2?xcosxdx??2?4 …………. （6分）
002??共 4 页第 2页
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--------- - - - - - - - - - - - ---姓名-- - - 线- - - - -号--学-- - - - - - - -级封班-- - - - - - - - - - - - - - - -业--专-- 密 - - - - - - ---级别-- - - - - - - - - - - - - - - -?1??sin3xdx?1??sin2xdcosx?1??(1?cos24303030x)dcosx??9 …………. （9分） 故
??(x2?y2)d???2?4?49??2?409 …………. （10分） D2设L为圆x2?y2?4在x轴之上的半圆周，方向按逆时针方向绕行，利用格林公式计算曲线积分
?L(x2ycosx?2xysinx?y2ex?x2)dx?(x2sinx?2yex?2xy)dy。（10分）
解：设P?x2ycosx?2xysinx?y2ex?x2,Q?x2sinx?2yex?2xy，则
?P?y?x2cosx?2xsinx?2yex,?Q?x?2xsinx?x2cosx?2yex?2y…………. （2分） 设L1为x轴上由点(?2,0)到点(2,0)的线段，C?L1?L，由C所围的闭区域为D 利用格林公式
?2xC(xycosx?2xysinx?y2e?x2)dx?(x2sinx?2yex?2xy)dy
?(?2L??L)(x2ycosx?2xysinx?y2ex?x)dx?(x2sinx?2yex?2xy)dy
1???(?Q??P)dxdy?D?x?y??2ydxdy?2D??0d??202?2sin?d?
?4??sin?(1?3)2d??32?sin?d??320(?cos??033?03)0?643 …………. （7分） ?L(x2ycosx?2xysinx?y2ex?x2)dx?(x2sinx?2yex?2xy)dy
1??2x2dx?1?23x3216?2?3 …………. （9分）
故曲线积分=643?163?483 …………. （10分） 五 证明直线l:??5x?3y?2z?5?0?2x?y?z?1?0与平面?:4x?3y?7z?10?0平行。（10分）
证明：平面?的法向量为 n?(4,?3,7)，原直线的方向向量为
ijks?5?32?i?32?j52?k5?3?5i?2?1?1?1?12?12?19j?k…………. （4分）
可见ns?4?5?3?9?7?0，故n⊥s，
从而s//?，即直线l平行平面?或在平面?上。 …………. （7分）
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将直线l上一点(0,?故点(0,?7272,)代入平面?的左边得：?3?(?)?7??10?0 555572,)不在平面?上，所以直线l平行平面?。 …………. （10分） 55六、应用题
已知A(1,4),B(3,0)是随圆2x2?y2?18上给定的两点，试在随圆上求一点C，使 ?ABC的面积最大。（10分）
解：设C(x,y)为椭圆上任一点，要使△ABC的面积最大，只要点C到直线AB的距离d
y 最大，直线AB的方程为 y?4??2(x?1), 即： 2x?y?6?0 ， A 点C到直线的距离 d?2x?y?65 ，…………………..（2分）
0 B x 令 L(x,y,?)?(2x?y?6)2??(2x2?y2?18) ，……..（4分）
?Lx?4(2x?y?6)?4?x?0?得方程组 ?Ly?2(2x?y?6)?2?y?0………………………..（6分）
?2x2?y2?18?0?2由前两个方程得x?y，代入第三个方程得 3x?18?0，∴ x??6……..（8分）
由几何图形可知，当 x??6,y??6时，d最大，从而面积最大，故所求点C为
(?6,?6). ………………………………………………………………………..….（10分）
七、求微分方程 ：y???y??x 的通解. （10分）
//解：设y??p，则原方程为p?p?x（1），下面先求p?p（2）的通解
由
1dp?dx解得（2）的通解为p?Cex。 …………. （4分） px//xx设p?ue（3）为（1）的通解，p?ue?ue（4），将（3）（4）代入（1）得
u/ex?uex?uex?x化简得u/ex?x，由此解得u??xex?ex?C1（5）
将（5）代入（3）得（1）的通解为p?C1ex?x?1， …………. （8分） 即y/?C1ex?x?1，解得原方程的通解为y?C1e?x12x?x?C2… ………. （10分） 2共 4 页第 4页
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