①当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y?kx?m，A(x1,y1),B(x2,y2)， 代入椭圆方程得(1?3k2)x2?6kmx?3(m2?1)?0.
?6km3(m2?1),x1x2?∴x1?x2?. 221?3k1?3k∵OA⊥OB，∴OA?OB?0，
即x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2
3(m2?1)?6km222?(1?k)??km?()?m?04m?3k?3?0. ，即221?3k1?3k2∵AB与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径r?mk?12，
3m23?，∴圆的方程为x2?y2?. 则r?24k?142②当直线AB的斜率存在时，易知AB方程为x??综上，所求圆的方程为x?y?223满足上述方程. 23. 4（2）设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)， 由OP?OA?3OB得??x?x1?3x2,
?y?y1?3y2,1， 3又直线OA，OB的斜率积为?∴
y1y21??，即x1x2?3y1y2?0. x1x232x12x222?y1?1,?y2?1,联立得 ∵A，B在椭圆上，∴33?x?x1?3x2,?y?y?3y,12??22?x1x2?3y1y2?0,消去x1,y1,x2,y2，得x?3y?30. ?x2?3y2?3,1?122??x2?3y2?3,
当OA斜率不存在时，即x1?0，得y1??1,y2?0,x2??3. 此时x??33，同理OB斜率不存在时，x??33， ∴P点的轨迹方程为x2?3y2?30(x??33). 21.（1）依题意，得f?(x)?经检验，a??2满足题意.
（2）由（1）知f(x)?lnx?2x?2，则F(x)??x2?lnx?x.
11?a,f?()?2?a?0，所以a??2. x212?x2?x?1所以F?(x)?2?x??1?.
xx令t(x)?2?x2?x?1，因为??0，所以??1?8??0.
方程2?x?x?1?0有两个异号的实根，设为x1?0,x2?0，因为x>0，所以x1应舍去. 所以F(x)在(0,x2)上单调递减，在(x2,??)上单调递增， 且当x?0时，F(x)???，当x???时，F(x)???. 所以当x?x2时，F?(x2)?0，F(x)取得最小值F(x2). 因为F(x)有唯一零点，所以F(x2)=0.
2?lnx2?x2?0,?F(x2)?0,??x2所以?即? 2?F?(x2)?0,?2?x2?x2?1?0.2x211x??lnx2?x2??lnx2?2?0. 22221x11令p(x)??lnx?，则p?(x)????0(x?0).
22x2所以F(x2)??x2?lnx2?x2?2所以p(x)在(0,??)上单调递减. 注意到p(1)?0，所以x2?1.所以??1.
22.（1）根据弦切角定理，知?BAC??BDA,?ACB??DAB. 所以△ABC~△DBA，所以
ABBC?. DBBA故AB2?BC?BD?50,AB?52.
（2）根据切割线定理，知CA2?CB?CF,DA2?DB?DE，
CA2CBCF??两式相除，得. DA2DBDECA21ACAB522?. 由△ABC~△DBA，得.所以???2DA2DADB102CB51CF??，所以由（※）式得?1. DB102DEx?cos??,?423.（1）由曲线C的参数方程，得?
y?sin??,2?又
x2y2??1. 所以曲线C的直角坐标方程为
164（2）设直线l的倾斜角为?1，则直线的参数方程为：
?x?2?tcos?1,(t为参数）. ?y?1?tsin?,1?代入曲线C的直角坐标方程得：
(cos2?1?4sin2?1)t2?(4cos?1?8sin?1)t?8?0， 4cos?1?8sin?1?t?t??12??cos2?1?4sin2?1所以?.
?8?t1t2?22?cos??4sin?1?由题意可知t1??2t2. 代入上式得：12sin2?1?16sin?1cos?1?3cos2?1?0，即12k2?16k?3?0.
所以直线l的斜率为
?4?7. 624.（1）a,b均为正数，由均值不等式得
11114， a2?b2?2ab,(?)2?(2?)2?ababab∴a?b?(?)?2ab?221a1b244?22ab??42. abab
当且仅当a?b?42时，等号成立. （2）
9419414aa36b4b81c36c???(a?4b?9c)(??)?9????16????9 abcabcbcacab4a36ba81c4b36c?34?(?)?(?)?(?)
bacacb?34?24a36ba81c4b36c ??2??2?bacacb=34+24+18+24=100.
当且仅当a=3b=9c，且a+4b+9c=1时，等号成立， 即当且仅当a?
311,b?,c?时，原式取等号. 101030
