第十三章 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ）
§1 一致收敛性（ 6 时 ）
一 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列{fn(x)},介绍概念:收敛点，
收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“??N”定义.
例1 对定义在( ?? , ?? )内的等比函数列fn(x)?xn,用“??N”定义验证其收敛域为( ?1 , 1 ],且
limfn(x)? limxn??n??n??例2 fn(x)?sinnxn? 0 , |x| ? 1 ,? 1 , x?1 .
. 用“??N”定义验证在( ?? , ?? )内limfn(x)?0.
n??例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ( n?? ).
n?nn?n12n?1xx?x?x ⑴ fn(x)?. fn(x)?sgnx, x?R.
⑵ fn(x)?x. fn(x)?sgnx, x?R.
⑶ 设r1,r2,?,rn,?为区间[ 0 , 1 ]上的全体有理数所成数列. 令
?1 , x?r1,r2,?,rn, fn(x)?? fn(x)?D(x), x?[ 0 , 1 ].
?0 , x?[ 0 , 1 ]且 x?r1,r2,?,rn.2?n ⑷ fn(x)?2nxe2x2. fn(x)?0, x?R.
1?n4x, 0?x?,n?2?11? ⑸ fn(x)??2n?1?4nx, n?x?n?1,
22?1?0 , ?x?1 . ?n?12? 有fn(x)?0, x?[ 0 , 1 ], ( n?? ). （ 注意?fn(x)dx?1.）
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二. 函数列的一致收敛性:
问题: 若在数集D上fn(x)?f(x),( n?? ).试问:通项fn(x)的解析性质是否必遗传给极限函数f(x)?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
limn??10fn(x)dx???lim01n??fn(x)dx.
?用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, limfn(x)就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限
n??函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.
定义1 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列{fn}在数集D上一致收敛????0 , ? N,
? m , n?N?x?D?fm(x)?fn(x)??.
( 介绍另一种形式fn?p?fn??.) 证?)(利用式fm?fn?fm?f?fn?f.)
?)易见逐点收敛.设limfn(x)?f(x),??,有 |fm(x)?fn(x)| ??2.令m??,
n???|fn(x)?f(x)| ??2?? 对? x?D
成立,即fn(x)??????f(x),( n?? )，x?D.
Th2 在D上fn??????f,( n?? )?limsup|fn(x)?f(x)|?0.
n??D推论 设在数集D上fn(x)?f(x),( n?? ).若存在数列{xn}?D,使
|fn(xn)?f(xn)| ?? 0, 则函数列{fn(x)}在数集
D上非一致收敛.
应用推论判断函数列{fn(x)}在数集D上非一致收敛时,常选xn为函数
Fn(x)?fn(x)―f(x) 在数集
D上的最值点.
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验证函数一致收敛性: 例4 fn(x)?sinnxn. 证明函数列{fn(x)}在R内一致收敛.
2例5 fn(x)?2n2xe?nx2. 证明在R内 fn(x)?0, 但不一致收敛.
12n证 显然有fn(x)?0,|fn(x)?f(x)| ? fn(x)在点xn??fn??1???2n??12处取得极大值
2ne??0,( n?? ). 由系2 , {fn(x)}不一致收敛.
例6 Sn(x)?x1?nx22. 证明在( ?? , ?? )内Sn(x)??????0, ( n?? ).
证 易见 limSn(x)?S(x)?0. 而
n?? |Sn(x)?S(x)|?由系1 , ? ??
|x|1?nx22?12n1?(nx)?2n|x|2?12n 在( ?? , ?? )内成立.
例7 对定义在区间[ 0 , 1 ]上的函数列
1?22nx , 0?x?,?2n?11? fn(x)??2n?2n2x, ?x? , ( n?1 , 2 , ? ),
2nn?1?0 , ?x?1 .?n?证明: limfn(x)?0, 但在[ 0 , 1 ]上不一致收敛. [1]P30 E3,图13—3.
n???1证0?x?1时,只要n?x,就有fn(x)?0.因此,在( 0 , 1 ]上有
f(x)?limfn(x)?0. fn(0)?0?f(0)?limn??n??fn(0)?0.于是, 在[ 0 , 1 ]上有
?1?f(x)?limfn(x)?0.但由于max|fn(x)?f(x)|?fn???n??0,( n?? ),
n??x?[0,1]?2n?因此, 该函数列在[ 0 , 1 ]上不一致收敛.
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例8 fn(x)?sinx2n?12. 考查函数列{fn(x)}在下列区间上的一致收敛性:
⑴ [ ?l , l ] , (l?0) ; ⑵ [ 0 , ??).
Ex [1]P35 1⑴—⑸，2.
三. 函数项级数及其一致收敛性:
1． 函数项级数及其和函数：?un(x), 前n项部分和函数列{Sn(x)}，收敛点，收敛域, 和函数, 余项.
例9 定义在( ?? , ?? )内的函数项级数(称为几何级数)
?
?xn?0n?1?x?x???x??
n2n的部分和函数列为 Sn(x)?1?x1?x ( x?1 ), 收敛域为( ?1 , 1 ).
2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.
Th3 (Cauchy准则)级数?un(x)在区间D上一致收敛????0, ? N,?n?N,
?p?N,?x?D ? Sn?p(x)?Sn(x)??或|un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)| ? ?.
推论 级数?un(x)在区间D上一致收敛? un(x)Th4 级数?un(x)在区间D上一致收敛于S(x)?
??????0, ( n?? ).
limsup|Rn(x)|?limsup|S(x)?Sn(x)|?0.
n??x?D?n??x?D例10 几何级数?xn在区间[?a , a ](0?a?1)上一致收敛；但在(?1 , 1 )内非一致收
n?0敛.
证 在区间[?a , a ]上,有
sup|Sn(x)?S(x)|?sup[?a,a][?a,a]?xn1?a?an1?a?0 ( n?? )??一致收敛;
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