[学业水平训练]
1.已知两条直线m，n及平面α，则下列几个命题中真命题的个数是( ) ①若m∥α，n∥α，则m∥n； ②若m∥α，m∥n，则n∥α；
③若m∥α，则m平行于α内所有直线． A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选A.①中m与n相交、平行、异面均有可能；②中，n也可能在α内；③中，m也可能与α内的直线异面．故选A.
2.下列结论正确的是( )
A．过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个 B．过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条 C．过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条
D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行
解析：选C.过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条，只要直线与平面无公共点，就是直线与平面平行．
3.已知直线a、直线b、平面α与平面β满足下列关系：a∥α，b∥α，aβ，bβ，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．重合 D．不能确定
解析：选D.a∥α，b∥α，aβ，bβ，但是直线a与直线b的关系未确定，如果直线a与直线b平行，那么α与β可能相交，也可能平行；如果直线a与直线b相交，那么α∥β. 4．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
解析：选A.因为E，F，E1，F1分别为AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则EF∥BC. 又BC
平面BCF1E1，EF
平面BCF1E1，
所以EF∥平面BCF1E1. 同理可证A1E∥平面BCF1E1. 因为A1E∩EF＝E，且A1E
平面EFD1A1，EF
平面EFD1A1，所以平面EFD1A1∥平面
BCF1E1.
5．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1
平行的截面，所得截面的面积是( )
A.6 B．26 C．5 D．52
解析：选B.如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平
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面BPC1.在△A1EF中，
A1F＝A1E＝5，EF＝22，
1
S△A1EF＝×22×（5）2－（2）2＝6，
2从而所得截面面积为2S△A1EF＝26. 6.下列四个说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α； ②若直线a∥b，直线a
α，bα，则a∥α；
③若a∥b，bα，则a与α内任意直线平行． 其中正确的有________．
解析：由直线和平面平行的判定可知①③不正确，②正确． 答案：②
7.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a________．
解析：因为b，c不相交，因此α与β的关系是平行或相交． 答案：平行或相交
AMAN
8．在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的
MBND
位置关系是________．
解析：
AMAN
连接BD，因为＝，
MBND
所以MN∥BD.
因为BD平面BDC，MN所以MN∥平面BDC.
答案：平行
9.已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．求证：PQ∥平面ACD. 证明：
如图，取BC的中点E，连接AE，DE. ∵P、Q分别是△ABC和△BCD的重心， ∴A、P、E三点共线且AE∶PE＝3∶1， D、Q、E三点共线且DE∶QE＝3∶1， ∴在△AED中，PQ∥AD. 又AD
平面ACD，PQ
平面ACD，
∴PQ∥平面ACD.
10.已知P是?ABCD所在平面外一点．E，F，G分别是PB，AB，BC的中点． 证明：平面PAC∥平面EFG. 证明：因为EF是△PAB的中位线， 所以EF∥PA.
平面BDC，
α，b、cβ，则α与β的关系是
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又EF平面PAC，PA平面PAC，
所以EF∥平面 PAC. 同理得EG∥平面PAC. 又EF
平面EFG，EG
平面EFG，EF∩EG＝E，
所以平面PAC∥平面EFG.
[高考水平训练]
1.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
解析：选D.∵BD⊥AC且BD＝AC， 又F、E、G、H分别为中点，
1
∴FG綊EH綊BD，
21
HG綊EF綊AC，
2∴FG⊥HG且FG＝HG， ∴四边形EFGH为正方形．
2.三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为__________． 解析：
如图，取BC中点F，连接SF，AF. ∵G为△ABC的重心， ∴A、G、F共线且AG＝2GF. 又∵AE＝2ES，∴EG∥SF. ∵SF
平面SBC，EG
平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：EG∥平面SBC
3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.若M是线段AD的中点．求证：GM∥平面ABFE.
证明：连接AF.
因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠ABC＝∠EFG， ∠ACB＝∠EGF， 所以△ABC∽△EFG.
由于AB＝2EF，所以BC＝2FG， 在?ABCD中，M是线段AD的中点，
1
则AM∥BC，且AM＝BC，
2
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因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥AF. 又AF
平面ABFE，GM
平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
4．(能力挑战题)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分
别为BC，PA的中点，在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE？若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由．
解：存在．取PD的中点E，连接NE，EC，AE，
1
因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE∥AD且NE＝AD.
2
1
又在平行四边形ABCD中，CM∥AD且CM＝AD，所以NE綊MC，
2即四边形MCEN是平行四边形，所以NM∥EC. 又EC
平面ACE，NM
平面ACE，
所以MN∥平面ACE.
即在线段PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE， 1
此时PE＝2PD.
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