10. 若n!=n(n-1)?2·1, 则=_________.
11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+
log2a5·log2a6=36，求的通项。
}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）
12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。
四、高考水平训练题
1．已知函数f(x)=，若数列{an}满足a1=
，an+1=f(an)(n∈N+)，则a2006=_____________.
2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=3. 若an=n2+
, 且{an}是递增数列，则实数
的取值范围是__________.
.
4. 设正项等比数列{an}的首项a1=
, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_____________.
5. 已知，则a的取值范围是______________.
6．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。
7．已知
(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.
8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.
9. 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________. 10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数. 11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是
（n≥2）①恒成立。
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12．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，（1）求证：an>0,
bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=
13．是否存在常数a, b, c，使题设等式
；（3）求数列
1·22+2·32+?+n·(n+1)2=(an2+bn+c)
对于一切自然数n都成立？证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。
2．设数列{xn}满足x1=1, xn=3. 设数列{an}满足a1=3, an>0，且
，则通项xn=__________.
，则通项an=__________.
4. 已知数列a0, a1, a2, ?, an, ?满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则=__________.
5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.
7. 数列{an}满足a1=2, a2=6, 且=2，则
________.
8. 数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.
9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，
使得an=1？
10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。
11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,?,使得
a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=
六、联赛二试水平训练题
1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,?.
2．设a1, a2,?, an表示整数1，2，?，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1; ②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,?,n-1。
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试问f(2007)能否被3整除？
3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且
求证：an (n=0,1,2,?)是完全平方数。
4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1 （1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使≥3.999均成立； （2）寻求这样的一个数列使不等式<4对任一n均成立。 5．设x1,x2,?,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,?,n)①.试问这样的序列最多有多少项？ 6．设a1=a2=，且当n=3,4,5,?时，an=, (ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：是整数的平方。 7．整数列u0,u1,u2,u3,?满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。 8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥ 9.已知n个正整数a0,a1,?，an和实数q，其中0 （2）q<<(k=1,2,?,n)； （3）b1+b2+?+bn< (a0+a1+?+an). 高中数学竞赛讲义（六） ──三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。 第 35 页 共 68 页 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意 取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函 数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα= 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；商数关系：tanα = ；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2 α, cot2α+1=csc2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π- α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上 为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时， y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对 称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z. 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区 间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均 为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z. 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为 π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+ 定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α ，0）均为其对称中心。 β)=cosαcosβ sinαsinβ,sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ; tan(αβ)= 定理7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sin 第 36 页 共 68 页 cos,
