∴OG綊BE，
∴四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG， 又EG?平面BB1D1D，OB?平面BB1D1D， ∴EG∥平面BB1D1D.
(2)由题意可知BD∥B1D1，B1D1∥平面BDF， 如图，连接HB、D1F，
易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF，HD1∥平面BDF. 又B1D1∩HD1＝D1，B1D1，HD1?平面B1D1H. 所以平面BDF∥平面B1D1H.
10.(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，
PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.
(1)证明：MN∥平面PAB； (2)求四面体N－BCM的体积.
2
(1)证明 由已知得AM＝AD＝2.
3
1
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
2又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT. 因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，
13
所以MN∥平面PAB.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点， 1
所以N到平面ABCD的距离为PA.
2
如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB－BE＝5.
1
由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S△BCM＝×4×5＝25.所以四面体N－BCM的体积VN2
－BCM221PA45＝×S△BCM×＝. 323
二、选做题
11.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________. 解析 如图，取AC的中点G，连接SG，BG.
易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G， 故AC⊥平面SGB， 所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD， 则SB∥HD. 同理SB∥FE.
又D，E分别为AB，BC的中点， 则H，F也为AS，SC的中点， 1
从而得HF綊AC綊DE，
2所以四边形DEFH为平行四边形. 又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC， 所以DE⊥HD，
所以四边形DEFH为矩形，
?1??1?45
其面积S＝HF·HD＝?AC?·?SB?＝.
?2??2?2
14
答案
45 2
12.(2018·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当
A1D1
D等于何值时，BC1∥平面AB1D1? 1C1
(2)若平面BCD∥平面ABAD11D1，求DC的值. 解 (1)如图所示，取DA1D1
1为线段A1C1的中点，此时
D＝1. 1C1
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， ∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点， ∴OD1∥BC1.
又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. ∴当
A1D1
D＝1时，BC1∥平面AB1D1. 1C1
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1， 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O， 得BC1∥D1O，同理AD1∥DC1， ∴
A1D1DC又∵A＝A1O，A1D1＝DC， 111
OOBD1C1
DCADADOB＝1，∴AD＝1，即DC＝1.
15
16
