第46讲 线面平行与面面平行
考试要求 1.空间中线面平行、面面平行的判定定理、性质定理及有关性质(B级要求)；2.运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题(B级要求).
诊 断 自 测
1.(必修2P41练习2改编)若直线a∥b，且b?平面α，则直线a与平面α的位置关系为________.
答案 a∥平面α或a?平面α
2.(教材改编)下列命题中不正确的有________(填序号).
①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面； ②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③平行于同一条直线的两个平面平行；
④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α.
解析 ①中a可以在过b的平面内；②中a与α内的直线可能异面；③中两平面可相交；④中由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确. 答案 ①②③
3.设l，m为直线，α，β为平面，且l?α，m?β，则“l∩m＝?”是“α∥β”的________条件.
解析 当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝?”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝?是α∥β的必要不充分条件. 答案 必要不充分
4.(必修2P45习题9改编)已知α，β，γ是三个不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α与γ的位置关系为________. 答案 平行
5.(教材改编)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________.
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解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，
则BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. 答案 平行
知 识 梳 理
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 如果平面外一条直线和这个平面内的一图形语言 符号语言 ∵l∥a， 判定定理 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行?线面平行”) 如果一条直线和一个平面平行，经过这性质定理 条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行?线线平行”) 2.面面平行的判定定理和性质定理 a?α， l?α， ∴l∥α ∵l∥α， l?β， α∩β＝b， ∴l∥b 文字语言 图形语言 符号语言 ∵a∥β， 如果一个平面内有两条相交直线都平判定定理 行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”) b∥β， a∩b＝P， a?α， b?α， 2
∴α∥β ∵α∥β， 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行 α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b
考点一 直线与平面平行的判定与性质
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【例1－1】 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，
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PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.
(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD. 证明 (1)连接EC，
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∵AD∥BC，BC＝AD，
2∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，
FO?平面BEF，AP?平面BEF，
∴AP∥平面BEF. (2)连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.
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又FH∩OH＝H，FH、OH?平面OHF，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.
【例1－2】 (2018·镇江月考)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面
ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.
(1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH， 所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内， 所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
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