《信息论与编码》习题解答
第二章 信源熵-习题答案
2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：
四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量H(X1)?logn?log4?2 bit/symbol 八进制脉冲的平均信息量H(X2)?logn?log8?3 bit/symbol 二进制脉冲的平均信息量H(X0)?logn?log2?1 bit/symbol 所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：
设随机变量X代表女孩子学历
X x1（是大学生） x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75
设随机变量Y代表女孩子身高
Y y1（身高>160cm） y2（身高<160cm） P(Y) 0.5 0.5
已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即：p(y1/x1)?0.75 bit
求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即：I(x1/y1)??logp(x1/y1)??log
p(x1)p(y1/x1)0.25?0.75??log?1.415 bit
p(y1)0.52.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问
(1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？
(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：
(1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
1 52!I(xi)??logp(xi)?log52!?225.581 bit p(xi)?(2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
413p(xi)?13C52I(xi)??logp(xi)??log
4?13.208 bit13C5213
?X??x1?0x2?1x3?2x4?3?2.4 设离散无记忆信源????，其发出的信息为?1/41/41/8??P(X)??3/8(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：
· 1 ·
(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：
?3??1??1?p?????????
?8??4??8?此消息的信息量是：I??logp?87.811 bit
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：I/n?87.811/45?1.951 bit
142562.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？
解： 男士：
p(xY)?7%I(xY)??logp(xY)??log0.07?3.837 bitp(xN)?93%I(xN)??logp(xN)??log0.93?0.105 bitH(X)???p(xi)logp(xi)??(0.07log0.07?0.93log0.93)?0.366 bit/symboli2
女士：
H(X)???p(xi)logp(xi)??(0.005log0.005?0.995log0.995)?0.045 bit/symbol
i2x2x3x4x5x6??X??x12.6 设信源????0.20.190.180.170.160.17?，求这个信源的熵，并解释为什么H(X) > P(X)????log6不满足信源熵的极值性。
解：
H(X)???p(xi)logp(xi)i6 ??(0.2log0.2?0.19log0.19?0.18log0.18?0.17log0.17?0.16log0.16?0.17log0.17) ?2.657 bit/symbolH(X)?log26?2.585不满足极值性的原因是
?p(x)?1.07?1。
ii62.7 证明：H(X3/X1X2) ≤ H(X3/X1)，并说明当X1, X2, X3是马氏链时等式成立。
证明：
· 2 ·
H(X3/X1X2)?H(X3/X1)?????p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1xi2)???p(xi1xi3)logp(xi3/xi1)i1i2i3i1i3?????p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1xi2)????p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1)i1i2i3i1i2i3????p(xi1xi2xi3)logi1i2i3p(xi3/xi1)p(xi3/xi1xi2)
?p(xi3/xi1)?????p(xi1xi2xi3)??1?p(x/xx)??log2ei1i2i3i3i1i2?????????p(xi1xi2)p(xi3/xi1)????p(xi1xi2xi3)?log2ei1i2i3?i1i2i3????????p(xx)p(x/x)i1i2??i3i1??1?log2e????i3???i1i2?0?H(X3/X1X2)?H(X3/X1)当p(xi3/xi1)?1?0时等式成立p(xi3/xi1xi2)
?p(xi3/xi1)?p(xi3/xi1xi2)?p(xi1xi2)p(xi3/xi1)?p(xi3/xi1xi2)p(xi1xi2)?p(xi1)p(xi2/xi1)p(xi3/xi1)?p(xi1xi2xi3)?p(xi2/xi1)p(xi3/xi1)?p(xi2xi3/xi1)?等式成立的条件是X1,X2,X3是马_氏链
2.8证明：H(X1X2 。。。 Xn) ≤ H(X1) + H(X2) + ? + H(Xn)。
证明：
H(X1X2...Xn)?H(X1)?H(X2/X1)?H(X3/X1X2)?...?H(Xn/X1X2...Xn?1)I(X2;X1)?0 ?H(X2)?H(X2/X1)I(X3;X1X2)?0 ?H(X3)?H(X3/X1X2)...I(XN;X1X2...Xn?1)?0 ?H(XN)?H(XN/X1X2...Xn?1)
?H(X1X2...Xn)?H(X1)?H(X2)?H(X3)?...?H(Xn)
2.9 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算H(X2), H(X3/X1X2)及H∞；
(3) 试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。
解： (1)
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间而且不论以前发生过什么符号……” ．．．．．．．．．．．．．．．(2)
· 3 ·
H(X2)?2H(X)??2?(0.4log0.4?0.6log0.6)?1.942 bit/symbolH(X3/X1X2)?H(X3)???p(xi)logp(xi)??(0.4log0.4?0.6log0.6)?0.971 bit/symbol
iH??limH(XN/X1X2...XN?1)?H(XN)?0.971 bit/symbolN???(3)
H(X4)?4H(X)??4?(0.4log0.4?0.6log0.6)?3.884 bit/symbolX4的所有符号：0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111
2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为{0, 1, 2}。 (1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H∞。
PP0P1PP2P解： (1)
?p(e1)?p(e1)p(e1/e1)?p(e2)p(e1/e2)??p(e2)?p(e2)p(e2/e2)?p(e3)p(e2/e3)?p(e)?p(e)p(e/e)?p(e)p(e/e)333131?3?p(e1)?p?p(e1)?p?p(e2)???p(e2)?p?p(e2)?p?p(e3)? ??p(e3)?p?p(e3)?p?p(e1)?p(e1)?p(e2)?p(e3)??p(e1)?p(e2)?p(e3)?1?p(e1)?1/3??p(e2)?1/3?p(e)?1/3?3?p(x1)?p(e1)p(x1/e1)?p(e2)p(x1/e2)?p?p(e1)?p?p(e2)?(p?p)/3?1/3???p(x2)?p(e2)p(x2/e2)?p(e3)p(x2/e3)?p?p(e2)?p?p(e3)?(p?p)/3?1/3? ??p(x3)?p(e3)p(x3/e3)?p(e1)p(x3/e1)?p?p(e3)?p?p(e1)?(p?p)/3?1/312??X??0??P(X)??1/31/31/3?????(2) · 4 ·
