导数应用 （一）．三个重要定理
1．罗尔定理：（Rolle） 对于f(x)若： ①．在?a,b?上连续； ②．在(a,b)内可导； ③．f(a)?f(b)
则至少存在一点??(a,b)，使得f(?)?0。
2．拉格朗日中值定理：（Lagrange） 对于f(x)若： ①．在?a,b?上连续； ②．在(a,b)内可导； 则至少存在一点??(a,b)，
使得
3．柯西中值定理：
若F(x)与f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(x)在 (a,b)内全不为零，则至少存在一点??(a,b)，使得：
'f(b)?f(a) ?f'(?)成立。
b?af'(?)f(b)?f(a)? '成立。 F(?)F(b)?F(a)
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（二）．泰勒公式
目的:把任意函数展成多项式相加。
?f(x)在x0处展开：
f(x)?f(x0)?f'(x0)?(x?x0)??
1''1f(x0)?(x?x0)2???f(n)(x0)?(x?x0)2!n!1f(n?1)(?)?(x?x0)n?1?拉格朗日余项??(x0,x)(n?1)!
?f(x)在x0?0处展开时即为麦克劳林公式：
f(x)?f(0)?x?f'(0)?12''11x?f(0)???xnf(n)(0)?xn?1f(n?1)(?)2!n!(n?1)!
??(0,x)
?几个特殊函数展开：
121ne?e?1?x?x???x?xn?1;??(0,x)
2n!(n?1)!xsin[??(2n?1)]13151n?12n?12?x2n?1sinx?x?x?x???(?1)?x?3!5!(2n?1)!(2n?1)
???(0,x)cos[??(2n?1)]121416n12n2?x2n?1cosx?1?x?x?x???(?1)x?2!4!6!2n!(2n?1)!
???(0,x)
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（三）．导数的几何应用
①．函数单调性判断：
若f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导
①．在(a,b)内f(x)?0 则f(x)在[a,b]上单调递增 ②．在(a,b)内f(x)?0 则f(x)在[a,b]上单调递减
②．求极值：
《法一》：若f(x)在x0的临域内可导且f(x0)?0
①．在此临域内x?x0时f(x)?0 且 x?x0时f(x)?0 则 x0为f(x)的一个极大值点。
②．在此临域内x?x0时f(x)?0 且 x?x0时f(x)?0 则 x0为f(x)的一个极小值点。
《法二》：若f(x)在x0处f(x)?0并f(x)存在且f''(x0)?0 则 ①．f''(x0)?0 x0为f(x)的一个极大值点。 ②．f''(x0)?0 x0为f(x)的一个极小值点。 《注》：f(x0)?0的x0点称驻点，驻点不一定是极值点
有些极值点不可导 可导的极值点必有 f(x0)?0
③．求最值：
最值出现在：驻点 区间端点 一阶不可导点 处； 一 一求出，比较大小，求出最值。
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④．凹凸性及拐点判断：
若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内一阶二阶均可导 ①．在(a,b)内f''(x0)?0即在(a,b)内f'(x)单调递增，则 f(x)在[a,b]上为凹弧。
②．在(a,b)内f''(x0)?0即在(a,b)内f'(x)单调递减，则 f(x)在[a,b]上为凸弧。
③．f''(x0)?0，x?x0部分的f(x)与x?x0部分的f(x) 异号，则x0为拐点。 ⑤．函数图像描绘：（见例题） ⑥．弧微分与曲率：
○a．弧微分
如图：
''''ds?(dx)2?(dy)2?1?('2?1?(yx)?dxdy2)?dxdxds?(xt')2?(yt')2?dt(参数方程)ds?r2(?)?(r?')2?d?(极坐标方程）
b．曲率：（曲线弯曲程度） ○
如图：MM??s 定义：平均曲率：K??'?? ?s??d? ??sds点曲率：K?lim?s?0?K?y''(1?y'2)32
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