22(m?1)Sm(n?1)Sn?~?2(m?n?2)。由t分布由?分布的可加性，则22??2的定义：
(X?Y)?(?1??2)?1m?1n222(m?1)Sm?(n?1)Sn?(X?Y)?(?1??2)22(m?1)Sm?(n?1)Snmn(m?n?2)
m?n?m?n?2服从 t(m?n?2)
例5 假设总体X服从N(0,9)，X1,X2,?,X8是来自总体的简单随机抽
样，求统计量：Y?X1?X2?X3?X4X?X?X?X25262728的概率分布
4、F-分布
1)定义：设X~?2(m)，Y~?2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量
F?XmYn服从自由度为(m,n)的F分布，记作：F~F(m,n)，其中：m为
第一自由度，n为第二自由度。
2由定义，若T~t(n)，则T~F(1,n)。
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F(m,n)的概率密度函数为：
?n)mmm??(m2m?m2?nx?0?12()(x)(1?x)?m f(x;m,n)???(2)?(nnn2)n?x?00?说明：先求出(X,Y) 的联合密度函数f(x,y)，再令
U?X?Y,V?XYn，求出（U,V）的联合f(u,v)，注意到U,V独立，?m所以V的边缘密度函数，也即F的密度函数。 2)F分布的性质（特点） Ⅰ.密度曲线不对称(偏态)
Ⅱ.若F~F(m,n)，则
1~F(n,m) FⅢ.当n?2时，EF?n n?2当n?4时，EF2n2(m?2)n2(2m?2n?4)，DF? ?2(n?2)(n?4)m(n?2)(n?4)注:(利用???(??1)?(??1)) 3)结论：
设（X1,X2,?,Xm）是来自总体X~N(?1,?1)的一个样本，
（Y1,Y2,?,Yn)是来自总体Y~N(?2,?2)的一个样本，且X与Y相互独
22?2S12立，则F?22~F(m?1,n?1)。
?1S2
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2事实上，
(m?1)S12?21~?(m?1)，
22(n?1)S2?22~?2(n?1)，
由F分布的定义，可得
(m?1)S12F?2?12(n?1)S2/(m?1)?222?22S1?22~F(m?1,n?1),
/(n?1)?1S21n1n22其中，S?(Xi?X)；S2?(Yi?Y)2 ??m?1i?1n?1i?121三、分位数 1. 定义：
设随机变量X的分布函数为F(x)，对于给定的正数?(0???1)，若有x?满足F(x?)?P{X?x?}??，则称x?为X的（下侧）?分位数(或?分位点)。 2.表示方法：
①.N(0,1)的?分位数??满足：
???12???e?x22dx??。
由标准正态分布的对称性可知：?????1??。 ②.?(n)分布的?分位数?(n) 满足:
??222???2?(n)??f(x)dx??，
或定义：
??(n)2f(x)dx??，即P{?2???,n}??由附表查其值
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2当n?45时，??(n)?1(u??2n?1)2或?n?2n?u?。 2例如：?20.05,10?18.307 ?20.95,10?3.94
③.t(n)分布的?分位数t?(n)满足：
?t?(n)??t(x,n)dx??，即
P{t?t?,n}??由附表5可查出其值。由于n?30时，t(n)分布接近于
N(0,1)，所以当n?45时，可查N(0,1)分布分位数表。由t分布的对称性
可知：?t??t1??。
它的双侧分位点t?,n（即满足P{t?t?,n}??）与上侧分位点t?(n)的关系：
t?(n)?t2?,nt?,n?t?(n)
2例如：
④.F(m,n)分布的?分位数F?(m,n)满足：
?F?(m,n)0f(x;m,n)dx??，
由F(m,n)分布性质，有：F?(m,n)=
1。
F1??(n,m)事实上，
P{??F?(m,n)???P{
1111?}???P{?}?1???F?(m,n)?F?(m,n)12
?P{1?F1??(n,m)}?1??。 ?⑤.分位数的其它表示法。
1）若??使p{X??}??，则?称为X的上侧?分位数，显然:?为原分布的1-?分位数，这是因为P{X??}?1??。 例:若X~N(0,1),?满足:P{X??}?0.01,则
??u1?0.01?u0.99?2.326
2）若??1,?2，使P{X??1}???，P{X??2}?；则称
22显然，?1,?2为X的双侧?分位数，?1为X的分位数。
??分位数，?2为X的1-22例:设F~F(m,n),求?1,?2,使得P{X??1}?0.01，
P{X??2}?0.01
解: ?1?F0.01(m,n),?2?F0.99(m,n)
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