(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 12
由f(x)＝ax＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
x所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈1
(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
x1
即f′(x)＝0?2ax＋＝0有正实数解，
x即2ax＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
[活学活用]
1532
若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x和y＝ax＋x－9都相切，则a的值为( )
425
A．－1或－
64725C．－或－
464
21
B．－1或 47
D．－或7
4
3
3
2
解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x相切于点(x0，x0)， 则切线方程为y－x0＝3x0(x－x0)，即y＝3x0x－2x0. 3
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
2当x0＝0时，直线方程为y＝0.
15252
由y＝0与y＝ax＋x－9相切可得a＝－.
46432727
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
244
2727152
由y＝x－与y＝ax＋x－9相切可得a＝－1.
444
3
2
2
3
5
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝ax＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( ) A．1 C．－1
22
B.2 D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax＋c，∴f′(x)＝2ax， 又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)(x－1)在x＝1处的导数等于( ) A．1 C．3
2
2
B．2 D．4
2
2
解析：选D y′＝[(x＋1)]′(x－1)＋(x＋1)(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)＝3x＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.
3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( ) A．y＝2x＋2 C．y＝x－1
B．y＝2x－2 D．y＝x＋1
2
解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
32
4. 已知物体的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速
t度为( )
A.C.19 415 4
B.D.17 413 4
3313
解析：选D ∵s′＝2t－2，∴s′|t＝2＝4－＝.
t44
5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 C．2
解析：选D y′＝a－
3
B．1 D．3
1
，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3. x＋1
6．曲线y＝x－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3x－1，∴y′|x＝1＝3×1－1＝2. ∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
6
2
2
答案：2x－y＋1＝0
132
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x－x＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝
x________.
11
解析：由题知y′1＝2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为2，
x2
3x2
0
－2x3x0－2x0＋20＋2，所以x2
＝3，所以x0＝1. 0
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′??π?4???cos x＋sin x，则f??π?4???的值为________． 解析：∵f′(x)＝－f′??π?4???
sin x＋cos x， ∴f′??π?4???＝－f′??π?4???×222
＋2，
得f′??π?4???
＝2－1.
∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x. ∴f??π?4???＝1. 答案：1
9．求下列函数的导数： x(1)y＝xsin2
x；(2)y＝e＋1
ex－1
；
(3)y＝
x＋cos xx＋sin x；(4)y＝cos x·sin 3x.
解：(1)y′＝(x)′sin2
x＋x(sin2
x)′
＝sin2
x＋x·2sin x·(sin x)′＝sin2
x＋xsin 2x. xx(2)y′＝ex＋1′
e－1－e＋1
ex－1′
ex－1
2
x＝
－2eex－1
2
.
(3)y′＝x＋cos x′x＋sin x－x＋cos xx＋sin x′
x＋sin x2
＝1－sin xx＋sin x－x＋cos x1＋cos xx＋sin x2
＝
－xcos x－xsin x＋sin x－cos x－1
x＋sin x2. x0
7
(4)y′＝(cos x·sin 3x)′
＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′ ＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x ＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x.
10．偶函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1. 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax＋bx＋cx＋dx＋e＝ax－bx＋cx－dx＋e. ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax＋cx＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1. ∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1. 59∴a＝，c＝－. 22
5492
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－x＋1.
22
层级二 应试能力达标
1．若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 C．2
3
4
24
2
4
3
2
4
3
2
4
3
2
B．－2 D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 2．曲线y＝xeA．2e C．2
解析：选C 函数的导数为f′(x)＝e
x－1
在点(1,1)处切线的斜率等于( )
B．e D．1
x－1
＋xe
x－1
＝(1＋x)e
x－1
，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xeC.
x－1
在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( ) A．e C．－e
－1－1
B．－1 D．－e
解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， 1
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
x 8
